Determine si el conjunto S dado es un subespacio vectorial del espacio vectorial V indicado. Just...

a) No es espacio vectorial.

Sean los vectores (0,1,3) y (2,0,1) ambos pertenecen a S, pero la suma es

(2,1,4) que no pertenece a S

b)

Hay un teorema de caracterización de un subespacio vectorial dice que un conjunto S de un espacio vectorial V es subespacio vectorial si y solo si:

i) 0 € S

ii) Para todo x, y € S se cumple x+y € S

ii) Para todo a € K y para todo x € V se cumple ax € S

Veamos que se cumplen

i) (0,0,0) € S ya que 0=0+0

ii) Sean dos vectores v1=(x1,y1,z1) y v2=(x2,y2,z2) de S

v1+v2 = (x1, y1, z1) + (x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)

y1=x1+z1

y2=x2+z2

sumándolas obtenemos

y1+y1 = (x1+x2) + (z1+z2)

que significa que v1+v2 € S

iii) Sea v€S y a€K

av = (ax,ay,az)

Como y=x+z multiplicamos poa y queda

ay=ax+az

que significa que av € S

Luego S es un subespacio vectorial

Bueno, ahora recuerdo que había un teorema más corto. S es subespacio vectorial si y solo si para todo v1, v2 € S y para todo a1, a2 € K se cumple a1·v1+a2·v2€ S

a1v1+a2v2 = (a1x1+a2x2, a1y1+a2y2, a1z1+a2z2)

y1=x1+z1 ==> a1y1 = a1x1 + a1z1

y2=x2+z2 ==> a2y2 = a2x2 + a2z2

Y sumándolas

a1y1+a2y2 = (a1x1+a2x2) + (a1z1+a2z2)

Luego a1v1+a2v2€ S y por tanto S es subespacio vectorial de R3.

c)

x-y+z=0

x+2y = 0

La intersección S son los puntos que cumplen las dos

x-y+z = x+2y

z=y

que es un espacio vectorial como vamos a demostrar

Sea v1=(x1, y1, y1) y v2=(x2, y2, y2) € S

aplicamos el teorema de caracterización

a1v1+a2v2 = (a1x1+a2x2, a1y1+a2y2, a1y2+a2y2)

Y las componentes segunda y tercera son iguales, luego a1v1+a2v2 € S y es un subespacio vectorial.

Y eso es todo.