Explicacion de la formula de la distribucion binomial como aproximacion a la normal

No entiendo muy bien la pregunta. Creo que debería ser al revés:

Explicación de la fórmula de la distribución normal como aproximación a una binomial. Eso si lo conozco.

La distribución binomial es (sobre todo era en tiempos) difícil de calcular cuando n es grande. Por eso se aproximaba la binomial por una normal. Y tal como me lo enseñaron a mi era tomar una normal con media np y con desviación estándar la raíz cuadrada de np(1-p). No me dieron la fórmula completa, ya teníamos una normal y a partir de ahí se tipificaba y se buscaban las probabilidades en la tabla.

De todas formas aproximamos mediante una

N(np , sqrt[np(1-p)])

para tipificarla se resta la media y se divide por la desviación

$$Z = \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}$$

Y en el cálculo no se tomaba el valor X de la binomial sino que se sumaba o se restaba 0.5 según el valor se incluía o no.

Entonces la fórmula quedaba

$$Z = \frac{X \pm 0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}$$

Creo que en tu fórmula falta el signo - delante de np. Vamos, falta seguro. Por eso se me hacía tan extraña la fórmula y no sabía que significaba.

Vale, ya lo tengo todo controlado.

Esa fórmula que he escrito te dará la probabilidad aproximada de que una binomial tenga un valor menor que x o menor o igual que x. Para solo menor la probabilidad es menor y se calcula la normal en x-0.5 Para menor o igual la probabilidad es mayor y se calcula la normal en x+0.5

He aquí dos ejemplos con algún número para que lo entiendas mejor

$$\begin{align}&P(X\lt 45) = \frac{45-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}=\frac{44.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\\ &\\ &\\ &\\ &P(X\le 45)=\frac{45+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}=\frac{45.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\end{align}$$

Es es la explicación del +- 0.5, pero va suelto, no va multiplicando a np.

Y eso es todo.