¿Alguien me puede ayudar con un problema de dígitos binarios?

Un número en sistema binario está compuesto sólo por dígitos 0 y 1. Si consideramos números binarios de n dígitos y es p la probabilidad de que cualquier dígito sea incorrecto (se transforme de 0 a 1 y de 1 a 0), independientemente unos de otros, resuelve las siguientes cuestiones:
a) La probabilidad de que un número sea incorrecto
b) en el supuesto de que el número de n dígitos sea incorrecto, la probabilidad de que lo sea únicamente por un dígito.
c) La probabilidad aproximada de que un número contenga más de un dígito incorrecto, cuando n = 100 y p = 0,01
d) la probabilidad aproximada de que un mensaje cifrado con 1000 números como los anteriores n = 100 y p = 0,01 tenga más de 1 dígito incorrecto.
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5.848.750 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...
Déjame que intente resolverlo. Necesitaré algo de tiempo.
a) Un número será incorrecto si falla cualquiera de sus dígitos. Siendo p la probabilidad de fallar uno, la probabilidad de que el número sea incorrecto es n·p
P(el número sea incorrecto) = n·p
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b) Se trata de una distribución binomial. La probabilidad pedida tiene como factores n porque cualquiera de los dígitos puede ser el incorrecto, p porque ese dígito elegido debe ser incorrecto y (1-p)^(n-1) porque los los otros n-1 dígitos deben ser correctos. Luego:
P(Sea incorrecto solo por un dígito) = n·p·(1-p)^(n-1)
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c) La probabilidad de que haya por dígitos incorrectos en una binomial es:
P(x incorrectos exactamente) = (n sobre x) (p^x) ((1-p)^(n-x))
En nuestro caso es
P(x incorrectos exactamente) = (100 sobre x) (0,01^x) (0,99^(n-x))
P(2 o más incorrectos) = 1 - P(0 incorrectos exactamente) - P(1 incorrecto exactamente)
P(2 o más incorrectos) = 1 - 1· (0,01^0)(0,99^100) - 100 (0,01) (0,99^99) =
1 - 0,3660323 - 0,3697296 = 0,264238
Durante años se nos ha dicho que esas operaciones eran demasiado laboriosas y nos sugerían aproximarla mediante una distribución normal. Eso es completamente falso hoy en la era de las calculadoras y ordenadores. Tampoco hoy se ve a los empleados de banca hacer las cuentas con tablas de logaritmos, ¿no? Luego tampoco deberíamos usar lo de la distribución normal. Pero el orden establecido es el orden establecido y lo que quieren es que uses la distribucíon normal y que yo me devane los sesos utilizando esa cosa obsoleta. Te mando lo realizado hasta este momento y sigo con el problema que ahora tengo que repasar estudios para seguir.
La distribución normal que se usa para aproximar es la que tiene:
media = np = 100 · 0,01 = 1
desviación = sqrt(np(1-p)) = sqrt (100 · 0,01 · 0,99) = sqrt (0,99) = 0,9949874
P(2 o mas incorrectos) = 1 - P( 0 ó 1 incorrecto) = 1 - P(X <= 1,5)
Se normaliza la variable X con una Z = (X-media) / desviación = ((X-1) / 0,9949874)
P(2 o más mal) = 1 - P( Z <= (1,5 -1) / 0,9949874) = 1 - P(Z <= 0,5025189)=
Vamos a las tablas. Podemos escoger el valor para 0,502 o para 0,503. Mejor el promedio que es más o menos nuestro número
=1 - (0,6986 + 0,7019) / 2 = 1 - 0,70025 = 0,29975
Probabilidad aproximada por distribución normal para 2 o más fallos = 0,29975
Como puedes ver la aproximación no ha sido muy exacta. Eso se debe a que el valor de p era pequeño 0,01. En los libros se dice que p no debe ser ni grande ni pequeño, entre 0,1 y 0,9 para que la aproximación sea buena. Aparte también se recomienda n>30, eso si se cumplía.
Te mando esto de nuevo que la parte d) también me va a dar que pensar.
d) La probabilidad aproximada de que un mensaje cifrado con 1000 números como los anteriores n = 100 y p = 0,01 tenga más de 1 dígito incorrecto.
Ahora se debe montar una nueva binomial en la que cada prueba es toda una binomial del caso anterior.
Para cada prueba (un número de 100 cifras) ya calculamos antes la probabilidad de que tuviera un dígito o más incorrecto. Para el problema actual nos interesará también ña probabilidad de que haya exactamente un dígito incorrecto. Haré de nuevo el problema de dos formas, la moderna y la de la distribución normal.
P(Exacta de 1 fallo y solo uno en los 100 dígitos) = 100 · 0,01 · 0,99^99 = 0,3697296
P(por aproximación de 1 fallo y solo uno en los cien dígitos) = P(0,5 <= X <> 1,5) =
Hacemos el cambio de variable ya usado antes Z=((X-1) / 0,9949874) y queda
= P((0,5-1)/0,9949874 <= Z <= (1,5-1)/0,9949874) =
   P (-0,5025189 <= Z <= 0,5025189) = P(Z <= 0,5025189) - (1 - P(Z <= 0,5025189)) =
2 P(Z <= 0,5025189) - 1 = 2(0,6986 + 0,7019)/2 -1 = 0,4005
Después de ste paso previo tenemos:
La probabilidad de que en mil números de cien cifras haya más de un dígito incorrecto es:
a) La probabilidad de que un nmero tenga dos o más dígitos incorrectos
b) más la probabilidad de que haya varios números cada uno de ellos con un solo dígito incorrecto.
Por el método exacto es:
a) 1 - P(0 números con más de un dígito incorrecto) = 1 - (1-0,264238)^1000= 1- 0 = 1
Ya lo dejamos aquí porque la probabilidad de que haya un numero con con dos o más dígitos incorrectos es tan alta que no se distingue de 1 en la calculadora, ya no son necesarios más cálculos.
El mensaje cifrado tiene probabilidad casi total de tener más de un dígito incorrecto.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas comprendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.

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