Los puntos de inflexión son puntos donde la derivada primera es nula y la segunda también y la primera vez que deja de ser nula la derivada es una derivada de orden impar.
Por ejemplo
f '(xo)=0, f ''(xo)=0, f '''(xo) = 1
f '(xo)=0, f ''(xo)=0, f '''(xo) = 0, f ''''(xo) = 0, f '''''(xo) = 0.32
En este ejercicio que hemos hecho los puntos en donde la derivada primera era 0, no lo era la derivada segunda, por eso no había puntos de inflexión.
Los puntos de corte con el eje X no se pueden calcular de manera algebraica, es imposible resolver una ecuación mezcla de polinomio con función trigonométrica, lo mismo que lo sería una mezcla de polinomio con una función logarítmica.
Se resuelven por métodos de aproximación numérica que no creo hayáis dado y tienen cierta complicación.
x - sen(2x) = 0
x = sen(2x)
Dado que sen(2x) esta acotado en el intervalo [-1, 1], x tiene que pertenecer al intervalo [-1,1]
La respuesta x=0 es una obvia
Para ver si existen otras hagamos la gráfica.
En efecto, hay otras dos simétricas respecto a 0. Pero como te decía, no se pueden calcular de manera exacta algebraicamente, y eso no lo puedo hacer ni Newton.
Hay métodos de aproximación, pero serían objeto de otra pregunta si quieres hacerla, la contestaré siempre que no puntúes esta con menos de 5 por decirte las dificultades que hay. El 5 se da siempre no cuesta nada.