Calcule el siguiente límite

Si, la voy a usar sin preguntar. Estos límites se resuelven así. Hay algunos que dicen que se pueden resolver por equivalencias, pero esa equivalencias las han obtenido antes por la regla de l'Hôpital o la fórmula de Taylor, asi que no vamos a hacer nada distinto de lo que han hecho ellos.

La regla de l'Hôpital sirve para resolver indeterminaciones 0/0 o oo/oo y dice que el límite del cociente de funciones es el mismo que el del cociente de las derivadas de esas funciones

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0}\frac{a^x-a^{senx}}{x^3}=\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{a^x·lna-a^{senx}·lna·cosx}{3x^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{lna-lna}{0}= \frac 00\end{align}$$

Volvemos a tener una indeterminación 0/0, podemos aplicar de nuevo la regla de l'Hôpital y por lo que estoy viendo puede que haga falta otra

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0}\frac{lna(a^x-a^{senx}cosx)}{3x^2}=\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{lna(a^xlna-a^{senx}lna·cosx+a^{senx}senx)}{6x}=\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{lna(lna-lna+0}{0}=\frac 00\\ &\\ &\text {derivaremos otra vez}\\ &\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{lna[a^x(lna)^2-lna(a^{senx}lna·cosx-a^{senx}senx)+a^{senx}lna·senx+a^{senx}cosx]}{6}\\ &\\ &\frac{lna[(lna)^2-lna(lna-0)+0+1]}{6}=\\ &\\ &\frac{lna[(lna)^2-(lna)^2+1]}{6}=\frac{lna}{6}\end{align}$$

Y eso es todo, ciertamente que era lioso.

UIn saludo.