Construcción de un proceso estocástico

Una partícula se encuentra en un punto al que identificaremos con el origen de la recta numérica. Con probabilidad p avanza una unidad hacia la derecha y con probabilidad q=1-p lo hace hacia la izquierda. Sea Xn el punto donde se encuentra la partícula después de n pasos.
Este proceso se conoce como caminata aleatoriao recorrido aleatorio. Se puede pensar a Xn como una suma de variables independientes e idénticamente distribuidas Yi que indican lo ocurrido en cada paso:

Yi = {1 si en el paso i hay un movimiento a la derecha, -1 si en el paso i hay un movimiento a la izquierda.

Con distribución de probabilidad común dada por:

P(Yi =1)=p, P(Yi =-1) = 1- p=q

Usando lo anterior, las variables de la caminata aleatoria son:

Xo=0

Xn = Yi + Y2+...+ Yn para n>0

Recursivamente, la relación anterior se escribe como

Xo =0 y Xn = Xn-1 + Yn para n>0

o bien:

Xo =0 y Xn - Xn-1 = Yn para n>0

a). Demuestra que {Xn} es un proceso con incrementos independientes.

b). Demuestre que {Xn} es un proceso de Markov.

c). Demuestre que {Xn} es un proceso con incrementos estacionarios.

d). Si el siguiente elemento del espacio muestral representa una colección de valores tomados por las variablesY´s, dibuja la trayectoria muestral correspondiente:

w=(-1, -1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, -1,...)

e). Calcula la esperanza y la varianza de Xn e interpreta su valor cuando p > q, cuando p < q y cuando p = q.