Teorema de Cantor

Supongamos que existe un punto c donde sea distinta de cero, por ejemplo positiva. Sea f(c) = epsilon, por ser f continua existirá un delta>0 donde si x pertenece a la intersección de intervalos (c-delta, c+ delta) n [a,b]

se cumplirá f(x) € (f(c)-epsilon, f(c)+epsilon) = (0, 2epsilon)

Luego será positiva cierto intervalo.

Tomemos dos puntos interiores cualesquiera de (c-delta, c+ delta) n [a,b] llamémoslos d y e

y sea x un punto cualquiera de [d,e]. Por construcción la función es positiva en [d,e]

$$\begin{align}&\int_a^x f(t)dt=\int_x^b f(t)dt\\ &\\ &\int_a^d f(t)dt+ \int_d^xf(t)dt=\int_x^ef(t)dt+\int_e^bf(t)d(t)\\ &\\ &Sea\; k=\int_d^ef(t)dt\\ &\\ &\text{poniendo }C_i \text{ donde haya constantes tendremos}\\ &\\ &C_1+ I_d^x = k-I_d^x+C_2\\ &\\ &2I_d^x=k -C_1+C_2\\ &\\ &2I_d^x = C_3 \\ &\\ &I_d^x = C_4 \quad\forall x \in[d,e]\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{tomando x=d y x=e tendremos}\\ &\\ &0=I_d^d = I_d^e = k\\ &\end{align}$$

Y esto es absurdo, la función es positiva en todo [d,e] y su integral era k>0

Y eso es todo.