Derivar con respecto a a x
integrar por sustitución trigonométrica y dibujar rectángulo asociado
integral de 1 / (x^2 sqrt(25-x^2))dx
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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El rectángulo asociado castigado hasta que no me lo presenten.
$$\begin{align}&\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{25-x^2}}=\\ &\\ &\\ &x=5sent\\ &dx= 5cost\,dt\\ &t=arsen \frac x5\\ &\\ &=\int \frac{5cos t\,dt}{25sen^2t \sqrt{25-25sen^2t}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\int \frac{\cos t\,dt}{25sen^2t \sqrt{1-sen^2t}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{1}{25}\int \frac{dt}{sen^2t}=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{25}\int csc^2t\,dt =\\ &\\ &-\frac 1{25}ctgt+C =\\ &\\ &-\frac{1}{25}ctg\left(arcos \frac x5\right)+C=\\ &\\ &\text{si }sent=\frac x5\implies cost=\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}\implies\\ &\\ &ctgt=\frac{\sqrt{1-\frac{x^2}{5}}}{\frac x5}=\frac{5-x^2}{x}\\ &\\ &\\ &=-\frac{1}{25}ctg\left[arcctg\left(\frac{5-x^2}{x} \right) \right]+C=\\ &\\ &\\ &- \frac{5-x^2}{25x}+C\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
