Calcule la siguiente integral

$$\int \frac{dx}{sh^2x·ch^2x}$$

Habría que aplicar varias fórmulas, aquí están si no las tienes

Funciones hiperbólicas

ch^2(x) - sh^2(x) = 1

ch(2x) = ch^2(x) + sh^2(x)

entonces

ch(2x) = ch^2(x)+ch^2(x)-1 = 2ch^2(x)-1

ch^2(x) = [ch(2x)+1] / 2

y también se puede por otro camino

ch(2x) = sh^2(x)+1+sh^2(x) = 2sh^2(x)+1

sh^2(x) = [ch(2x)-1] / 2

Y entonces

sh^2(x) · ch^2(x) =

{[ch(2x)-1] / 2}·{[ch(2x)+1] / 2} =

[ch^2(2x) - 1] / 4 =

sh^(2x) / 4

y tendremos

1 / [sh^2(x)·ch^2(x)] = 4 / sh^2(2x) = 4csch^2(2x)

Y si luego miramos en la tabla de derivadas tenemos

cth'(x) = - csch^2(x)

Luego la integral de 4csch^2(2x) sería -2cth(2x)

Bueno, todo eso es un poco complicado, la verdad es que me gustaría saber qué os han enseñado y cómo para adaptar la forma de resolverlo a como lo hacéis.

Otra forma podría ser sustituyendo por e^x, veamos

$$\begin{align}&ch^2x= \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}  \right)^2=\frac {e^{2x}+e^{-2x}+2}{4}\\ &\\ &sh^2x=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}  \right)^2=\frac {e^{2x}+e^{-2x}-2}{4}=\\ &\\ &\\ &ch^2x·sh^2x=\frac{(e^{2x}+e^{-2x})^2-4}{16}=\\ &\\ &\\ &\frac{e^{4x}+e^{-4x}+2-4}{16}=\\ &\\ &\frac{e^{4x}+e^{-4x}-2}{16}=\\ &\\ &\frac 14\left(\frac{e^{2z}-e^{-2z}}{2}\right)^2=\frac{sh^2(2x)}{4}\\ &\\ &luego \\ &\\ &\frac{1}{sh^2x·ch^2x}=\frac{4}{sh^2(2x)}=\\ &\\ &4 \left(\frac{ch^2(2x)-sh^2(2x)}{sh^2(2x)}\right)=\\ &\\ &\\ &-2 \left(\frac{ [2sh(2x)]sh(2x)-ch(2x)[2ch(2x)]}{sh^2(2x)} \right)=\\ &\\ &\\ &-2\left(\frac{ch´(2x)·sh(2x)-ch(2x)·sh´(2x)}{sh^2(2x)}  \right)=\\ &\\ &\\ &-2 \left(\frac{ch(2x)}{sh(2x)}\right)^´ \\ &\\ &\text {y la integral de eso es}\\ &\\ &\frac{-2ch(2x)}{sh(2x)}+C = -2cth(2x)+C\\ &\\ &\end{align}$$

cth es cotangente hiperbólica

Y eso es todo.