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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Esta es la seria de Taylor de de f(x) = e^(3x) en x= 2
Vamos a calcular las derivadas
f '(x) = 3e^(3x) ==> f '(2) = 3e^6
f ''(x) = 9e^(3x) ==> f ''(2) = 9e^6
f '''(x) = 27e^(3x) ==> f '''(2) = 27e^6
....
fn(x) = 3ne^(3x) ==> fn(2) = 3^n·e^6
Con esto la serie es
f(x) = e^6 + 3e^6·(x-2) + 9e^6·[(x-2)^2] / 2! + 27e^6·[(x-2)^3] / 3! + 81e^6[(x-2)^4]/4! +....
o puesta como sumatorio
$$f(x) = e^{\,6}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^i(x-2)^i}{i!}$$Y la serie de McLaurin se hace en el punto x=0
Las derivadas ya calculadas antes evaluadas en x=o nos dan
fn(0) = 3^n
Entonces la serie es
f(x) = 1 + 3x + 9x^2 / 2 + 27x^3 / 6 + 81x^4/24+ ... + 3^n·x^n / n!
Y eso es todo.
