Funciones determinación de dominio y rango

Hay que usar el símbolo ^ para los exponentes. Es lo que te pedirá cualquier programa de cálculo o gráficas de ordenador, luego ews bueno que lo sepas. La definición sería

g(x) = [(x,y) | 3x^2 - 4y^2 = 12}

Eso no es una función puesto que a cada valor de la x tenemos dos valores de la y. Por ejemplo si x=3

3·3^2 - 4y^2 = 12

27 - 4y^2 = 12

15 = 4y^2

y^2 = 15/4

y = +- sqrt(15/4) que son dos valores

Sqrt es la raíz cuadrada, otra de las convenciones sobre las expresiones matemáticas.

Para hablar de función habría que añadir la condición adicional de que y sea mayor que cero o menor que cero, lo cual nos daría dos funciones, una positiva y otra negativa.

Vamos a tomar la positiva.

Primero veamos el dominio

3x^2 - 4y^2 = 12

4y^2 = 3x^2 - 12

y = sqrt[(3x^2-12)/4] = sqrt(3x^2-12)/2

Para que la función esté definida debe ser positivo el contenido de la raíz cuadrada

3x^2 - 12 >= 0

3x^2 >= 12

x^2 >= 4

|x| >= 2

Esto sucede cuando x<= -2 y cuando x>= 2

Dom g+ = (-oo, -2] U [2, oo)

Para calcular el rango despejamos x

3x^2 - 4y^2 = 12

3x^2 = 12 + 4y2

x = sqrt[(12+4y^2)/3]

Y aquí no hay ningún problema el contenido dew la raíz cuadrada es siempre positivo luego sirve cualquier valor de la y. Pero habíamos convenido que la función era positiva, luego

Rango g+ = [0, +oo)

Y si tomamos la función g negativa los cálculos son los mismos y los resultados son:

Dom g- = (-oo, -2] U [2, oo)

Rango g- = (-oo, 0]