Hola buen día, por favor sobre vectores

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Demostrar que los vectores (1,1,1), (3,4,5) son linealmente independientes,
pero si agregamos (1,2,3) el conjunto se vuelve linealmente dependiente, por lo
que este conjunto de tres vectores no es una base de R
3, pero los dos primeros forman una base para un subespacio
de dimensión dos.

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Respuesta
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Si solo son dos vectores serán linealmente dependientes si uno es combinación lineal del otro, es decir, el otro multiplicado por alguna constante

(3,4,5) = k(1,1,1) = (k,k,k)

luego

k=3

k=4

k=5

absurdo ya que k solo puede tener un valor.

Luego son linealmente independientes.

Cuando son tres para ser dependientes uno de ellos debe ser combinación lineal de los otros dos. La forma efectiva de comprobar esto es crear la matriz con los vectores y mediante operaciones de sumar o restar filas multiplicadas por una constante hacer todos los ceros que se puedan debajo de la diagonal. Si se consiga alguna fila con todo ceros son dependientes, y si no, no lo son

1 1 1

3 4 5

1 2 3

la primera por 3 se resta a la segunda

y la primera se resta a la tercera

1 1 1

0 1 2

0 1 2

se resta segunda a la tercera

1 1 1

0 1 2

0 0 0

Y hemos conseguido una fila de todo ceros, luego son dependientes.

Otra forma de hacerlo es calculando el determinante cuando la matriz es cuadrada.

Y eso es todo.

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