Integración por cambio de variable
Hola Prozac!!
Estoy teniendo problemas para resolver esta integral por el método de integración por cambio de variable, ¿podrías explicarme cómo puedo resolverla paso a paso?
$$\int\frac{x^2}{\sqrt{2-x}}.dx$$A la espera de su respuesta,
Gracias y Un Saludo!!
Respuesta de prozac
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El cambio que parece mejor es:
$$t = \sqrt {2-x}$$Para despejar x, elevamos al cuadrado:
$$t^2= (2-x) \space \text{y despejando la x: }\space x = 2-t^2$$Y por tanto
$$dx = -2t dt$$
Reescribimos la fórmula y simplificamos
$$\int \frac{(2-t^2)^2}{t}(-2t)dt = -2 \int {(2-t^2)^2}dt = -2 \int (t^4 - 4t^2 +2) dt$$Que ya es una integral polinómica sencilla. Se resuelve y se deshace el cambio. Solamente ten en cuenta que por ejemplo
$$t^3 = (2-x)^{\frac{3}{2}} = (2-x)\sqrt{(2-x)}$$Ponlo en la forma que mas te guste. Te dejo la resolución y deshacer el cambio para ti.
