Bartle, ejercicios de la sección 2.4, no. 9

Demostrar que si A y B son subconjuntos acotados de R, entonces AUB es un conjunto acotado. Demostrar que sup(AUB)=sup {sup A, sup B}

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Respuesta
2

Se supone que quieren decir acotados inferior y superiormente.

Inferiormente existirán

c1€R tal que para todo x€A, x >= c1

c2€R tal que para todo x€B, x >= c2

tomemos c = min(c1,c2)

entonces

para todo x€A se verifica x >=c1 >= min(c1,c2)

y para todo x€B se verifica x >= c2 >= min(c1,c2)

luego c es una cota inferior de AuB

Y superiormente es análogo, existirán:

C1€R tal que para todo x€A, x <= C1

C2€R tal que para todo x€B, x <= C2

Tomemos C = max(C1,C2)

para todo x€A se verifica x <= C1 <= max(C1,C2)

para todo x€B se verifica x <= C2 <= max(C1,C2)

Luego C es una cota superior de AuB

Y por lo tanto AuB esta acotado.

Antes demostramos que AuB estaba acotado superiormente, luego por las propiedades de los números reales existe el supremo.

Además tomaremos sup A en lugar de la cota que llamamos C1 y sup B como la cota que llamamos C2

entonces C = max{sup A, supB}

tratándose de dos números el supremo es lo mismo que el máximo.

C = sup{sup A, sup B}

C era una cota superior como ya comprobamos, para demostrar que es el supremo falta demostrar que es la mínima cota superior

Supongamos que existe una cota superior D de AuB tal que D < C = sup{sup A, sup B}

Por ser cota superior de AuB lo es de A y B. Pero esto es contradictorio porque hemos hallado una cota superior de A menor que sup A, eso no puede ser por definición, ya que el supremo es la menor cota superior. Luego no puede existir esa cota D menor que C y por lo tanto sup(sup A, sup B} = sup AuB

Y eso es todo.

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