Resolver ecuación trigonométrica
valeroasm como se resuelve esta ecuación trigonométrica porque no se para que valor de x se cumple la ecuación. Es la siguiente:
$$v2(senx + cosx)= tanx + cotx$$
explicame de la forma mas sencilla posible muchas gracias por tu ayuda. Nos vemos.
1 Respuesta
No tengo clara la función, supongo que con la v quieres decir raíz cuadrada, pero no se si el 2 significa que la raíz es cuadrada o es una constante.
No sé si habrás visto contestaciones mías donde escribo sqrt. No es por capricho, sqrt es la forma internacional de escribir la raíz cuadrada.
Mándame de nuevo la ecuación:
Si es
$$\sqrt{senx+cosx} = tgx+ctgx$$escribe
sqrt{senx+cosx} = tgx+ctgx
En el editor.
Si es
$$\begin{align}&\sqrt{2(senx+cosx)} = tgx+ctgx\\ &\\ &\text {escribe \sqrt{2(senx+cosx)} = tgx+ctgx}\\ &\end{align}$$
valeroasm la ecuacion es
$$\begin{align}&\sqrt 2 ( senx + cosx)= tanx + cotx\\ &\end{align}$$no es una funcion sino una ecuacion trigonometrica y hay que hallar los valores del angulo x
Para no andar escribiendo sqrt(2) a todas horas lo voy a llamar "a"
a(senx+cosx)=senx/cosx + cosx/senx
a(senx+cosx)=[sen^2(x) +cos^2(x)] / (cosx·senx)
a(senx+cosx) = 1/(senx·cosx)
a(senx+cosx)senxcosx = 1
Elevamos al cuadrado
a^2(sen^2(x)+cos^2(x)+2senxcosx)(senxcosx)^2= 1
2(1+2senxcosx)(senxcosx)^2 = 1
Hay una formula trigonométrica que es
sen(2x) = 2senxcosx
proviene de hacer x=y en la fórmula
sen(x+y) = senxcosy + cosxseny
Si no la habéis dado me lo dices y resolveremos de otra forma.
Entonces con esa fórmula
2(1+2senxcosx)(senxcosx)^2 = 1
2[1+sen(2x)]·[sen(2x)^2]/4= 1
[1+sen(2x)]·[sen(2x)^2]/2= 1
[1+sen(2x)]·[sen(2x)^2]= 2
sen^2(2x) + sen^3(2x) -2 = 0
Llamando y=sen(2x) tenemos
y^3 + y^2 - 2 = 0
Por suerte es fácil ver que la respuesta es y = 1
sen(2x)=1 ==>
2x = Pi/2
x = Pi/4
Más estrictamente
x = Pi/4 + 2kPi con k€Z
Comprobémoslo:
sqrt(2)[sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2] = 1 + 1
sqrt(2)[sqrt(2)] =2
sqrt(4) = 2
2=2
Luego está bien.
Y eso es todo. Ya te digo que si no habéis dado esa formula se puede hacer usando como incógnita senxcox. Creo que podrías hacerlo tú y te daría solución
senxcosx = 1/2
sen^2(x)cos^2(x) = 1/4
sen^2(x)[1-sen^2(x)] = 1/4
sen^2(x)- sen^4(x) -1/4 = 0
sen^4(x) -sen^2(x) +1/4 = 0
Llamo y = sen^2(x)
y^2 - y + 1/4 = 0
4y^2 - 4y + 1 = 0
y = [4 +- sqrt(16-16)]/8 = 1/2
sen^2(x) = 1/2
senx = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/[sqrt(2)·sqrt(2)] = sqrt(2)/2
Que es el famoso seno de 45º=Pi/4
Y ahora si que no falta ya nada.
