Determinar si la matriz A es diagonalizable.
Determinar si A es diagonalizable. Si lo es, hallar una matriz P que diagonalice a A y determine P^(-1)AP
La matriz A es la siguiente:
(4 2 2)
(2 4 2)
(2 2 4)
1 respuesta
Calcularemos los valores propios
|t-4 2 2 | | 2 t-4 2 | = 0 | 2 2 t-4|
(t-4)^3 + 8 + 8 - 4(t-4) - 4(t-4) - 4(t-4) = 0
(t-4)^3 - 12(t-4) + 16 = 0
t^3 - 12t^2 + 48t - 64 - 12t + 48 +16 = 0
t^3 - 12t^2 + 36t = 0
El primer valor propio es t=0
t^2 -12t + 36 = 0
es un cuadrado perfecto
(t-6)^2 = 0
Luego el otro valor propio es y tiene multiplicidad 2.
De momento no sabemos si es diagonalizable porque tiene un valor propio repetido.
Calculamos los vectores propios sustituyendo t en la ecuación
-4 2 2 | 0 2 -4 2 | 0 2 2 -4 | 0 Cambiamos el orden y dividimos todo entre 2 1 1 -2 | 0 1 -2 1 | 0 -2 1 1 | 0 1 1 -2 | 0 0 -3 3 | 0 0 3 -3 | 0 1 1 -2 | 0 0 -3 3 | 0 0 0 0 | 0
Hagamos que z sea el parámetro
-3y + 3z = 0
-3y = -3z
y=z
x+z-2z = 0
x-z=0
x=z
Luego el espacio propio es {(z,z,z) | z € R}
Y el vector propio del valor propio 0 es (1,1,1)
Y ahora vamos a calcular el espacio propio del valor propio 6. Si tiene dimensión 2 será diagonalizable, y si no no lo será.
2 2 2 | 0 2 2 2 | 0 2 2 2 | 0
Queda todo reducido a una ecuación
2x+2y+2z = 0
x+y+z = 0
Aquí tomaremos dos parámetros y el espacio propio es
{(-y-z, y, z) | y,z € R}
Una base de este espacio es (-1, 1, 0) y (-1, 0, 1)
Aunque a mi siempre me gusta que la primera componente sea positiva, luego tomare los vectores propios
(1, -1, 0) y (1, 0, -1)
correspondientes al valor propio 6.
La matriz es diagonalizable y la matriz de paso P es la que tiene por columnas los vectores propios
1 1 1
1 -1 0
1 0 -1
Y la matriz diagonal que se obtiene P^(-1)AP tiene por diagonal los valorees propios el el mismo orden que se pusieron los vectores propios
0 0 0
0 6 0
0 0 6
Y eso es todo.
