Consistencia en probabilidad ejercicio

El enunciado no salió muy bien escrito pero lo he mirado en el libro.

La media de la suma de n variables independientes e igualmente distribuidas es un estimador insesgado de la la media. Por el teorema 9.1 la media de esas n variables será un estimador consistente de la media si el límite de la varianza del estimador cuando n tiende a infinito es 0.

La varianza de la media de n variables independientes e igualmente distribuidas es la varianza de una de ellas dividida entre n.

$$V(\overline Y)=\frac{\sigma^2}{n}$$

Como la varianza de una de ellas es una constante finita, al dividir por n eso tiende a 0 cuando n tiende a infinito.

$$\lim_{n \to \infty}\frac{\sigma^2}{n}=0$$

Luego la media de n variables es un estimador consistente de la media. Que en otra

S palabras es "converge en probabilidad en la media".

Y la constante que nos dicen es la media, la cual podemos calcular

$$\begin{align}&\mu=E(Y)=\int_0^1 y\,f(y)\,dy=\\ &\\ &\int_0^1 y·3y^2\,dy=\int_0^13y^3dy=\\ &\\ &\left.\frac 34y^4 \right|_0^1=\frac 34\end{align}$$

Luego la media de las variables converge en probabilidad en 3/4.

Y eso es todo, espero que te sirva lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar.