Distribuciones de probabilidad multivariable y bivariable.
2. Tres monedas se lanzan al aire de manera independiente. Una de las variables de interés es Y1, el número de caras; Y2 representa la cantidad de dinero que se gana en una apuesta de la siguiente manera: si en el primer lanzamiento sale la primera cara, usted gana un dólar; si sale en el segundo o en el tercer lanzamiento, usted gana 2 o 3 dólares, respectivamente; si no aparece ninguna cara, pierde un dólar (es decir, gana -1 dólar).
a.) Determine la función de probabilidad conjunta de Y1 y Y2.
b.) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan menos de 3 caras y usted gane 1 dólar o menos? [es decir, calcule F(2,1).]
1 Respuesta
a) Formamos el espacio muestral de los lanzamientos y al lado pondremos los valores de (Y1, Y2) correspondientes, llamare C a las caras y X a las cruces. Y1 será el número de caras, Y2 se corresponde al lugar de la primera cara, siendo -1 si no hay ninguna.
CCC ==>(3, 1)
CCX ==>(2,1)
CXC ==>(2,1)
CXX ==>(1,1)
XCC ==>(2,2)
XCX ==>(1,2)
XXC ==>(1,3)
XXX ==>(0,-1)
La función de probabilidad conjunta es simplemente tomar esos ocho pares, darles probabilidad 1/8 a cada uno y agruparlos si hay repetidos, además vamos a ordenarlos de menor de menor a mayor. Solo está repetido el par (1,2)
P(0,-1) = 1/8
P(1,1) = 1/8
P(1,2) = 1/8
P(1,3) = 1/8
P(2,1) = 2/8 = 1/4
P(2,2) = 1/8
P(3,1) = 1/8
b) P(Y1<3; Y2<=1) =
Los pares que cumplen esas condiciones son tres y a tener en cuenta que uno de ellos tiene probabilidad 2/8
P((0,-1)U(1,1)U(2,1)) = 1/8 + 1/8 + 2/8 = 4/8 = 1/2
Y eso es todo.
