Pregunta 9 de matemática 3
Hola valeroasm!!
En este caso te pido que resuelvas solo una integral simple:
$(1/x)(ln(1-x))dx desde( x>0 hasta x=1)
$$\int_0^1 \frac{ln(1-x)}{x}dx$$Es una función "inintegrable" conocida como polilogarítmica.
Esta integral es la
$$\begin{align}&-Li_2(x)\\ &\\ &\text{donde }\\ &\\ &Li_2(x)= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k^2}\end{align}$$En la Wikipedia tienes el resultado
Ahi te pone que el dilogaritmo de 1 es Pi^2/6, Luego la integral que nos piden es
-Pi^2/6
Y eso es todo.
Como tu dices es una función inintegrable, y no es posible hallar su primitiva, pero al ser una integral definida entonces puedes estimar un valor en ese caso analizan y definen una teoría que relacionan términos, y en el caso especial cuando es 1 entonces la expresión te queda pi^2/6¿¿es correcto?..
En la pregunta anterior que no pudiste atender mi inquietud, la cerré porque estaba muy tormentosa, a lo que me refería es que asi como en este problema haz planchado de wiki, y me ha servido, quería que verifiques a que se referían esas variables E y F, y que demuestres la aproximación, yo imagino que ellos eligen esa aproximación porque es la mejor¿¿??, quería que me ayudes también con mi inquietud porque es la mejor aproximación, no te estoy pidiendo que inventes una teoría para hallar una aproximación o una relación entre funciones que dependen de su anterior, sino que verifiques con las herramientas que conociste en las matemáticas puras, o en tal caso dime...esa pregunta esta fuera de mi alcance, no puedo hacerlo..., y yo sabre entender pues no es tan facil
Si es eso. El dilogaritmo de 1 es una sucesión bastante famosa, creo que fue contigo que hablamos alguna vez de ella, es el problema de Basilea.
Yo te remitía a la Wikipedia para que vieras que no había una formula exacta, que no era una invención mía.
Para resolver un caso con números concretos lo que tienes que hacer es la integral definida
Tomas a lo largo de un eje e integras la longitud de las elipses perpendiculares a es eje.
Si el elipsoide es
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1
los semiejes son
a en el eje x
b en el eje y
c en el eje z
Tomamos las elipses perpendiculares al eje z
Su proyección en el plano xy es una elipse
$$\begin{align}&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\\ &\\ &\\ &\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{z^2}{c^2}=\frac{c^2-z^2}{c^2}\\ &\\ &\frac{x^2}{\frac{a^2(c^2-z^2)}{c^2}}+\frac{y^2}{\frac{b^2(c^2-z^2)}{c^2}}=1\\ &\\ &\\ &\frac{x^2}{\left(\frac{a \sqrt{c^2-z^2}}{c}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{b \sqrt{c^2-z^2}}{c}\right)^2}=1\\ &\end{align}$$Hemos calculado los semiejes de la proyección para poder calcular la longitud de cada elipse. Dando la elipse en coordenadas paramétricas será
$$\begin{align}&x=\left(\frac{a \sqrt{c^2-z^2}}{c}\right)cost\\ &\\ &y=\left(\frac{a \sqrt{c^2-z^2}}{c}\right)sent\\ &\\ &\text{La longitud de la elipse será}\\ &\\ &\int_0^{2\pi}\sqrt{ \left(\frac{a \sqrt{c^2-z^2}}{c}\right)^2sen^2t +\left(\frac{b \sqrt{c^2-z^2}}{c}\right)^2cos^2t } \;dt=\\ &\\ &\frac{4 \sqrt{c^2-z^2}}{c}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2sen^2t+b^2cos^2t}\;dt\\ &\\ &\text{Y la superficie total es:}\\ &\\ &\frac 8c \int_0^c \sqrt{c^2-z^2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2sen^2t+b^2cos^2t}\;dt\;dz =\\ &\\ &\\ &\frac 8c \int_0^c \sqrt{c^2-z^2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{b^2sen^2t+b^2cos^2t-(b^2-a^2)sen^2t}\;dt\;dz =\\ &\\ &\\ &\frac 8c \int_0^c \sqrt{c^2-z^2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{b^2-(b^2-a^2)sen^2t}\;dt\;dz =\\ &\\ &\\ &\frac {8b}c \int_0^c \sqrt{c^2-z^2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\frac{(b^2-a^2)}{b^2}sen^2t}\;dt\;dz =\\ &\\ &\\ &\frac {8b}c \int_0^c \sqrt{c^2-z^2}E \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)dz=\\ &\\ &\\ &\frac{8b}{c}E \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)\int_0^c \sqrt{c^2-z^2}\;dz=\\ &\\ &\\ &\text{Oye, la hago con calculadora}\\ &\\ &=\frac{8b}{c}\frac{\pi c^2}{4}E \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)=\\ &\\ &\\ &= 2bcE \left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)\\ &\end{align}$$La integral que he hecho con calculadora no es difícil, pero es que ya no funcionaba el ordenador con una fórmula tan grande. Es más, mando respuesta ahora sin terminar porque se cuelga. Luego vuelvo.
A primera vista hay dos erratas. Cuando doy las ecuaciones paramétricas en la de la y el numerador tiene la b al principio. Y al final me he dejado un Pi por poner, pero es que me parece que me sobra. Tengo que revisarlo todo, es la primera vez que trabajo con una integral elíptica, no sé si voy a llegar a algo.
Nada. Lo que hice no sirve de nada, se me olvidó que en el cálculo de superficies interviene el ángulo normal a la superficie en cada punto, vamos, lo que se llama la integral de superficie. Pues la he estado mirando y no me sale fácil ni en cartesianas ni en esféricas. Si quieres liberarme me liberas del trabajo. Y si no, no te puedo garantizar que lo haga, se me han agolpado muchas preguntas y no puedo dejarlas sin respuesta. Y con respecto a tu duda aun sé responder menos, si hubiera llegado a la expresión de la integral elíptica tal vez podría investigar qué aproximaciones hay a la integral elíptica.
Esa aproximación no es la mejor por supuesto, para cada caso particular se pueden obtener aproximaciones tan buenas como queramos. E incluso seguro que se podrían obtener aproximaciones genéricas mejores pero ¿cómo serían de complicadas?
