Sistema de ecuaciones lineales equivalentes!

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes sin tienen las mismas soluciones. Luego siempre nos queda la opción de resolverlos para averiguar si lo son.

Asimismo hay unas reglas que nos dicen que dos sistemas son equivalentes.

1) Si se multiplica o divide una ecuación por un número real distinto de cero.

2) Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo.

3) Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo multiplicada por un número real.

4) Si una ecuación es proporcional a otra del mismo sistema o es combinación lineal de otras del mismo sistema, se puede eliminar.

Y aunque resulte obvio también se puede cambiar el orden de las ecuaciones.

Pero esos criterios suelen usarse más bien para partiendo de un sistema llegar a otro más fácil de solucionar, no sé hasta que punto puedan ayudarnos cuando nos dan los dos sistemas, salvo que se vea muy claro lo más sencillo es resolver ambos sistemas y comparar.

a) No se ve ninguna similitud, los resolvemos:

x - y = 0

-x -y = 2 Simplemente las sumamos

-2y = 2

y=-1

x=-1

Y el segundo

2u+3v = -5

u-2v = 1 Sumamos la segunda multiplicada por (-2)

7v = -7

v = -1

u -2(-1) = 1

u+2 = 1

u = -1

Son equivalentes, ambos tienen solución (-1, -1)

b) NO son equivalentes, deben tener el mismo número de incógnitas para empezar a hablar.

c)

x -y = 0
-x - y = 2
2x + y = 0

......

2s +3t =-5

s - 2t = 1

Observa que este ejercicio es muy parewcido al primero.

El que aquí llame s, t a las incognitas del segundo sietema es irrelevante, los coeficientes son idénticos.

El único añadido es la ecuación 2x+y = 0. Pueden suceder dos cosas.

1) La ecuación añadida admite como solución la encontrada antes y entonces son equivalentes.

2) La ecuación añadida no admite la solución anterior, entonces el primer sistema no tiene solución y no serán equivalentes.

Comprobemos si la solución (-1, -1) verifica la ecuación 3

2(-1)+(-1)=0

-2-1=0

-3=0

No la verifica, luego el sistema 1 es incompatible (sin solución) y el 2 si tiene solución, por lo tanto no son compatibles.

Y eso es todo.