La distancia entyre dos puntos sera

Para calcular la distancia de un punto P a una recta r del espacio necesitaremos calcular un punto A de la recta y su vector director u.

Con las ecuaciones en forma paramétrica es muy sencillo calcularlos.

A = (0,0,0)

u = (4,-2,2) || (2, -1, 1)

Y calculamos también el vector AP

AP = (0,0,12) - (0,0,0) = (0,0,12)

$$\begin{align}&d(P,r)=\frac{|\vec {AP}\times\vec u|}{|\vec u|}\\ &\\ &\end{align}$$

Calculamos el producto vectorial AP x u

| i j k |

| 0 0 12| = 12i + 24j

| 2 -1 1 |

y el módulo del producto vectorial es

sqrt (12^2 + 24^2) = sqrt(144+576) = sqrt(720) =12·sqrt(5)

Y esto hay que dividirlo entre el módulo de u

|u| = sqrt(6)

Luego la distancia es

d(P, r) = 12·sqrt(5) / sqrt(6) = 12 sqrt(5)sqrt(6) / 6 = 2 sqrt(30)

Aproximadamente 10.95445155

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Podríamos hacerlo sin saber la fórmula pero cuesta más

El plano perpendicular a la recta tiene como vector director el de la recta, luego es de la forma

2x-y+z +D = 0

para que pase por (0,0,12) es

12+D=0 ==> D = -12

luego el plano es

2x - y + z - 12 = 0

El punto de intersección de la recta y su plano perpendicular será

2·4t - (-2t) + 2t -12 = 0

12t = 12

t=1

luego es

(4t, -2t, 2t) = (4,-2,2)

Y la distancia punto recta es la del punto a este punto intersección

sqrt[(4-0)^2+(-2-0)^2+(2-12)^2 =

sqrt(16+4+100) = sqrt(120) = 2sqrt(30)

Efectivamente es lo mismo, ahora ya estoy más seguro porque la fórmula es de las cosas que uno no recuerda.

Y eso es todo.