Segundo criterio de la derivada

Primero calculamos la derivada primera.

f(x) = x^3·e^x + x^2·e^x - 1

Voy a editarla para que veas lo que entendí por si acaso es distinto de lo que te aparezca en el ejercicio

$$\begin{align}&f(x)=x^3e^x+x^2e^x-1\\ &\\ &f´(x)=3x^2e^x+x^3e^x+2xe^x+x^2e^x=\\ &\\ &e^x(x^3+4x^2+2x)\\ &\end{align}$$

Esto valdrá cero cuando lo valga el paréntesis porque e^x es siempre positivo y diistinto de cero por lo tanto.

x^3+4x^2+2x = 0

La primera solución es x=0.

Simplificamos y queda

x^2+4x+2 = 0

x = [-4 +- sqrt(16 -8)] / 2 =

[-4 +- sqrt(8)] / 2 =

[-4 +- 2sqrt(2)] / 2 =

-2 +- sqrt(2)

Las soluciones aproximadas son

0, -2-sqrt(2), -2+sqrt(2)

Que aproximadamente son

0, -3.4142, -0.5858

Y la derivada segunda es

f ''(x) = e^x(x^3+4x^2+2x)+e^x(3x^2+8x+2) =

e^x(x^3+7x^2+10x+2)

Y el signo depende solo del paréntesis porque e^x es siempre positivo

Veamos el valor del paréntesis en los puntos críticos

f ''(0)= e^0·2 = 2 es mínimo

f ''(-3.4142) = e^(-3.4142) [(-3.4142)^3 + 7(-3.4142)^2 + 10(-3.4142) + 2] =

0.317735 es un mínimo

f ''(-0.5858) = e^(-0.5858)[(-0.5858)^3 + 7(-0.5858)^2 + 10(-0.5858) + 2] =

-0.922326 es un máximo

Esos son los máximos y mínimos relativos pero para calcular los absolutos hay que ver que pasa en los extremos en -infinito y +infinito

f(x) = e^x(x^3+x^2) -1

en -infinito el límite es -1

$$\begin{align}&\lim_{x \to -\infty}[e^x(x^3+x^2)-1]=\\ &\\ &\lim_{x \to +\infty}(e^{-x}[(-x)^3+(-x)^2)]-1)=\\ &\\ &\lim_{x \to +\infty}\left[\frac{-x^3+x^2}{e^x}-1\right]=0-1=-1\\ &\\ &\end{align}$$

en +infinito el limite es +infinito claramente

Y ahora calculemos el valor en los puntos que hallamos antes

f(-3.4142) = e^(-3.4142)[(-3.4142)^3 + (-3.4142)^2] - 1 = -1.92594

f(-05858) =-0.92087766

f(0) = -1

Luego el mínimo absoluto está en (-3.4142) y es -1.92594

Y el máximo absoluto no existe porque la función tiende a +infinito.

Y eso es todo.