Limites de por cuando tiende a raíz cuadrada de (por^2+x / x)

Este límite tiene alguna complicación adicional que no sé si el que lo escribió se percató de ella. Por la izquierda no está definida la función.

Si x € (-1, 0] se cumple

x^2 <=-x

x^2+x <= 0

Si es menor que cero no hay raíz cuadrada y si es cero con x=0 entonces no existe el cociente. luego la función no está definida en (-1,0]

La definición de límite (puede que ampliada sobre la que se da normalmente) dice que debe existir un delta tal que x € [(xo-delta, xo) U (xo, xo+delta)] intersección con Dom f entonces |f(x)-L|<epsilon

Luego en este límite solo se toman en cuenta a efecto de comprobar el límite los x € (0, delta) ya que (-delta, 0) no pertenece al dominio de la función, esto es equivalente a calcular el límite por la derecha.

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 0_+}\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}=\\ &\\ &\\ &\text{como x espositiva se puede meter dentro del}\\ &\text{ radicando manteniéndose el signo}\\ &\\ &=\lim_{x \to 0_+} \sqrt{\frac{x^2+x}{x^2}}=\\ &\\ &\\ &=\lim_{x \to 0_+} \sqrt{1+\frac{1}{x}}= \\ &\\ &\\ &\sqrt{1+\frac 1{0_+}}=\\ &\\ &\text{como x es positiva}\\ &\\ &\\ &\sqrt{1+\infty} = +\infty\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.