Ejercicios de demostraciones
valeroasm como vas. Estuve tratando de resolver unos ejercicios de demostraciones de las propiedades de las matrices, las operaciones entre matrices y la traspuesta de una matriz.
por ejemplo ayudame a resolver estos que dicen asi:
1. Si A y B son matrices cuadradas, ¿ se cumple que A^(2) - B^(2) =(A+B)(A-B) ?
2. ¿ A^(2)=0 ? ( el profesor dijo que era falso pero no alcanzo a explicar el por qué)
y este ultimo que me parece algo difícil, pues nunca he trabajado con matrices elevadas al cuadrado. Dice asi: resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales `para x,y,z.
x^2 +y^2 + z^2 = 6
x^2 -y^2 + 2z^2 = 2
2x^2 +y^2 - z^2 = 3
muchas gracias por colaborarme.
1 Respuesta
1) No se cumple siempre.
El producto de matrices tiene las propiedades distributiva por la izquierda y derecha respecto a la suma. Puedes ver aquí la demostración:
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1ticas%29
Entonces
(A+B)(A-B) = (A+B)A -(A+B)B = A^2 + BA - AB + B^2
Pero es que el producto de matrices no suele ser conmutativo, así que será fácil encontrar un contraejemplo:
|1 0| |1 0|
A= |1 1| B= |1 0|
|1 0| |1 0| |0 0|
A^2=|2 1| B^2=|1 0| A^2-B^2=|1 1|
|2 0| |0 0| |0 0|
A+B=|2 1| A-B=|0 1| (A+B)(A-B)=|0 1|Y se ve que son distintos.
2) No sé qué quieres decir. Es evidente que A^2 no es siempre cero, basta que tomes la matriz identidad cuyo cuadrado es ella misma.
3)
x^2 +y^2 + z^2 = 6
x^2 -y^2 + 2z^2 = 2
2x^2 +y^2 - z^2 = 3
Las únicas expresiones que aparecen de x, y, z son sus cuadrados y las acuaciones son lineales en x^2, y^2, z^2- Llama por ejemplo
r=x^2
s=y^2
t=z^2
y tendrás un sistema lineal que resuelves
1 1 1 | 6 1 1 1 | 6 1 1 1 | 6 1 -1 2 | 2 0 -2 1 |-4 0 -1 -3 |-9 2 1 -1 | 3 0 -1 -3 |-9 0 -2 1 |-4 1 1 1 | 6 0 -1 -3 |-9 0 0 7 |14
t = 14/7 = 2
-s - 6 = -9 ==> -s = -3 ==> s=3
r + 2 + 3 = 6
r = 1
Luego las soluciones son
x = +- 1
y = +- sqrt(2)
z = +- sqrt(3)
Las combinaciones posibles son 2^3 = 8
Y eso es todo, salvo que el ejercicio 2 fuera distinto dew que entendí.
