Anónimo
Flujo Vectorial a través de una Superficie Cerrada
Hola a todos,
¿Me podrían ayudar a resolver el problema cuyo enunciado está definido más abajo en cursiva?
Sé que hay una forma, dar con la solución sin conocer la superficie, pero no lo sé hacer.
<address>(términos vectoriales en negrita)</address>Se tiene el dominio (compacto, simplemente conexo) V R3 cuya frontera es la super cie
cerrada S. Probar que el flujo a través de S del campo de vectores
F = 11(x + y)i - 3yj +4(x2 + z)k es
$$\displaystyle\iint_{S}^{} \vec{F}*\vec{n}, dS = 12u(V) = 12vol(V)$$(Espero que se vea bien la fórmula)
Muchas gracias!
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La resolución se hace usando el teorema de la divergencia.
$$\begin{align}&Flujo=\displaystyle\iint_{S}^{} \vec{F}*\vec{n} dS = \iiint_V \nabla·F\;dV\\ &\\ &\\ &\nabla·F=\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_2}{\partial y}+\frac{\partial f_3}{\partial z}= \\ &\\ &11-3+4 = 12\\ &\\ &Flujo = \iiint_V12dV=12 \iiint_V dV = 12V\\ &\\ &\end{align}$$Donde V es el volumen que encierra la superficie.
Seguramente lo tendrás mejor explicado en tu libro. Si no, aquí tienes el teorema y ejemplo de la Wikipedia que he consultado.
Y eso es todo.