Sobre sistema de ecuaciones lineales.
Hola valeroasm necesito de tu ayuda pues no entiendo como se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Me piden encontrar los valores de k para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones, ninguna solución y única solución. Te envío la imagen:
http://imageshack.us/photo/my-images/41/fotoax.jpg/
explicame paso a paso y como bebo verificar esos valores de k en el sistema original para que en efecto la igualdad se cumpla en las 3 ecuaciones.
Te lo agradezco mucho.
1 respuesta
Iremos haciendo ceros bajo la diagonal principal
1 0 2 | 1 0 k-2 1 | -3 0 2-k k^2+k-1 | k+3 1 0 2 | 1 0 k-2 1 |-3 0 0 k^2+k | k
Si k=0 la ultima fila será todo ceros y el rango será dos
Será un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones
Si k es distinto de 0 podemos dividir por k la última fila y quedará
0 0 k+1 | k
Si k = -1 quedará
0 0 0 | -1
Que es un sistema incompatible, la suma de cantidades multiplicadas por cero no puede dar otra cosa que cero. Luego si k=-1 hay cero respuestas.
Para ver si hay alguna otra posibilidad calculamos el determinante
|A| = 1(k-2)(k+1)
Si k=2 también es cero el determinante, veamos como quedan las filas segunda y tercera
0 0 1 | -3
0 0 3 | 2
Ya se ve que es incompatible porque no son proporcionales, pero podemos usar el lismo argumento que antes:
Restamos la segunda fila multiplicada por 3 a la tercera
0 0 1 | -3
0 0 0 | 11
Y de nuevo se ve la contradicción en la tercera fila, luego es incompatible y sin solución.
En resumen
k=0 infinitas soluciones
k=-1 o k = 2, cero soluciones
Resto de casos, solución única.
Y eso es todo.
valeroasm entendí muy bien hasta el determinante porque no he visto en clase ese tema explicame como en k=2 también hay cero soluciones pero sin utilizar determinantes vale??
muchas gracias
Pues olvídate del determinante.SImplemente tienes que examinar todos los casos posibles y ves que con k=2 sucede algo distinto que si no es 2 porque el elemento a22 de la matriz se hace cero. Y entonces estudias qué pasa cuando k=2 y descubres que se crea un sistema incompatible como ya vimos.
El determinante es una forma de averiguar qué valores hacen que no haya una solución única. Si has estudiado el rango, también sirve para eso aunque es más fácil hacerlo por el determinante. El estudio a través de las filas que se anulan es lo mismo que el rango.
Yo, por el tipo de problema pensaba que ya habíais dado el determinante porque es lo que se usa para estos problemas el 99% de las veces.
