Pregunta de matemáticas series 2

De química nada, pero nada de nada. Es más, automáticamente que no fue obligatoria en el colegio elegí otra asignatura distinta.

Hay un teorema que dice que si f es monótona en (a, oo) para algún a € N entonces

$$\int_a^{\infty}f(x) dx \;converge \iff \sum_{n=a}^{\infty}f(n)\; converge$$

En los libros seguramente encontrarás este teorema con más condiciones, que f(x) debe ser continua, positiva y decreciente. Pero hay un señor que ha demostrado lo de arriba, te lo digo a título de información

Teorema optimizado

De todas formas vamos a hacerlo con una función continua, positiva y decreciente que pasa por los puntos de la serie

$$\begin{align}&\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^n}=\int_1^{\infty}x^{-n}dx =\\ &\\ &\\ &\\ &Si \;x \neq 1 \quad \text{la integral es esta}\\ &\\ &\\ &\left[\frac{x^{-n+1}}{-n+1}\right]_1^{\infty}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to \infty}\left( \frac{x^{-n+1}}{-n+1}\right)-\frac{1}{-n+1}\\ &\\ &\end{align}$$

Si n>1 entonces

-n < -1

-n + 1 < 0

Y entonces el límite es cero ya que sería 1/oo.

Con lo cual la integral converge y por lo tanto converge la serie

Si n <1

-n > -1

-n+1 > 0

Y el límite es infinito con lo cual no converge la integral y la serie tampoco

Queda el caso n=1, en cuyo caso la integral es ln(x). Y el logaritmo neperiano en el infinito es infinito, luego la integral no converge y la serie tampoco.

Luego en resumen, la serie converge si n>1 y diverge si n<=1

Y eso es todo.