Criterio de la segunda derivada

Como siempre, igualaremos a cero la derivada primera.

$$\begin{align}&F'(x)=\frac{x^4+7-x·4x^3}{(x^4+7)^2}= \frac{7-3x^4}{(x^4+7)^2}=0\\ &\\ &3x^4=7\\ &\\ &x^4 = \frac 73\\ &\\ &x = \pm \sqrt[4] {\frac 73} \approx \pm 1.235930917\\ &\\ &\end{align}$$

Para averiguar si son máximos, mínimos o nada calculemos la derivada segunda.

$$\begin{align}&F'(x)=\frac{7-3x^4}{(x^4+7)^2}\\ &\\ &\\ &\\ &F''(x) = \frac{-12x^3(x^4+7)^2-(7-3x^4)2(x^4+7)4x^3}{(x^4+7)^4} =\\ &\\ &\frac{-12x^3(x^4+7)-8x^3(7-3x^4)}{(x^4+7)^3} =\\ &\\ &\frac{12x^7-140x^3}{(x^4+7)^3}\\ &\\ &\end{align}$$

El denominador es siempre positivo, luego el signo depende del numerador-

El numerador lo podemos poner como un producto

$$x^3(12x^4-140)$$

En los puntos que vamos a estudiar se verificaba

x4 = 7/3

luego tendremos

x³(7/3-140) = -(413/3)x³

Luego en los extremos que habíamos calculado, el signo de la derivada segunda es el opuesto del signo de x.

Si x es negativo el signo de la derivada segunda es positivo y es ún mínimo

Si x es positivo el signo es negativo y es un máximo.

Luego

$$\begin{align}&x=-\sqrt[4] {\frac 73}\; \text{ es un mínimo}\\ &\\ &\\ &x=\sqrt[4] {\frac 73}\; \text{ es un máximo}\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.