Cantidad de divisores de 30^2010 que no son divisores de 20^2011
Espero una explicación muy buena con detalles y desde ya muchas gracias
1 respuesta
Primero descomponemos ambos números en factores primos
30 = 2 · 3 · 5
30^2010 = 2^2010 · 3^2010 · 5 ^2010
20 = 2^2 · 5
20^2011 = 2^4022 · 5^2011
Todo divisor de 30^2010 que tenga solo el 2 y 5 como factores primos será divisor de 20^2011 porque este tiene los factores 2 y 5 y con mayor exponente del que puedan tener en 30^2010. Mientras que si tiene el 3 ya no será divisor de 20^2011
El 3 lo podemos tomar de 2010 formas (no de 2011 porque 3^0 no nos sirve) y el 2 y el 5 los podemos tomar de 2011 formas por que si sirve que no aparezca uno u otro-
Luego el número total de divisores de 30^2010 que no lo son de 20^2011 es
2010 · 2011 · 2011 = 8.128.683.210 formas
Y eso es todo, ojala te sirva y lo hayas entendido. Si no, pide las explicaciones que necesites, y si si. No olvides puntuar.
Que pasa si sería calcular la cantidad de divisores de 30^2011 que no son divisores de 20^2010.
Yo lo entiendo pero que propiedades se aplican y de que manera se puede explicar
30^2011 = 2^2011 · 3^2011 · 5^2011
20^2010 = 2^4020 · 5^2010
En este caso tenemos que dividen al primero y no al segundo cualquier múltiplo de 3 como antes y además cualquier múltiplo de 5^2011
Los múltiplos de tres son
2011 · 2012 · 2012 = 8.140.817.584
Los múltiplos de 5^2011 son
2012 · 2012 = 4.048.144
Los que son la a la vez múltiplos de 3 y de 5^2011 son
2012
Luego son:
8.140.817.584 + 4.048.144 - 2012 = 8.144.863.716
Las propiedades que se usan son descomponer cada número en factores primos. Esa descomposición es única y nos dará tres exponentes a, b y c para cada primo 2,3 y 5.
n = 2^a · 3^b · 5^c
Y un número divide a otro si y solo si tiene todos sus exponentes menores o iguales que los del otro. Y un número es múltiplo de otro si y solo si tiene todos las factores primos mayores o iguales que los del otro.
Recordar que cuando un número no tiene exponente en el factor de un primo se le adjudica exponente cero.
Y es todo cuestión de aplicar un poco de lógica y combinatoria para calcular la cantidad de números que cumplen.
Yo suponía que si te han puesto este problema, dominabas ya todo eso que he dicho.
Habíamos llegado a
30^2010 = 2^2010 · 3^2010 · 5 ^2010
20^2011 = 2^4022 · 5^2011
Los divisores de 30^2010 son de la forma
2^i · 3^j · 5^k con 0<=i<=2010, 0<=j<=2010, 0<=k<=2010
Y los de 20^2011 son
2^m · 5^n con 0<=m<=4022, 0<=n<=2011
Tienes que hallar los del primero que no son del segundo.
Cualquier combinación de exponentes que puedas tomar solo con los factores primos 2 y el 5 en el primer número te dará un divisor del segundo porque el segundo tiene exponentes superiores en el 2 y el 5.
Para obtener un divisor que no divida al segundo. El exponente de 3 debe ser distinto de cero, luego j podrá valer entre 1 y 2010 y los otros (i y k) pueden tomar cualquier valor entre 0 y 2010
Luego son 2010 · 2011 · 2011 = 8.128.683.210 formas
Y la segunda parte se basa en los mismos razonamientos.
Ya hace varios días que contesté. Puntúala
