Álgebra de Grupo

¡Hols Sherbert!

El enunciado es falso, ya con cuatro elementos hay grupos no conmutativos, como S4, el grupo de las permutaciones de 4 elementos. Tomemos estos dos ciclos (1,2,3) y (1,4)

(1,2,3)(1,4) = (1,2,3,4)

(1,4)(1,2,3) = (1,4,2,3)

Que son ciclos distintos.

Si no te manejas bien con las operaciones que he hecho comprueba como deja cada operación los cuatro elementos

1 2 3 4

(1,2,3) los dejará

3 2 1 4

y luego (1,4) los dejará

4 2 1 3

Mientras que la otra operación los dejará asi primero por (1,4)

4 2 3 1

y después (1,2,3) los dejará así

3 4 2 1

que como ves son dos permutaciones distintas.

La pregunta sería verdad para grupos de orden menor a igual que 3.

Para orden 1 solo hay la operación 1·1 = 1

Para orden 2 las operaciones son

1·1 = 1

1·2 = 2

2·1 =

2·2 = 1

Para orden 3

1 2 3

--------------

1 | 1 2 3

2 | 2

3 | 3

Esos son así por que el 1 es el elemento neutro.

Cada clase lateral horizontal o vertical debe tener todos los elementos del grupo, luego la operación

2·3

No puede ser 2 porque ya está el 2 en la fila ni 3 porque lo está en la columna, luego será 1. Asimismo 3·2 también será 1.

Y después se completa cada fila con el elemento que falta, con lo que el cuadrado de resultados queda así

1 2 3

2 3 1

3 1 2

Y este es el único grupo que existe de orden 3 y puedes ver que es conmutativo porque la tabla es simétrica respecto la diagonal

Y eso es todo.