Sacar la Ecuación de Circunferencia con 2 Tangentes y 1 recta que contiene el centro.

El centro de la circunferencia estará en la intersección de las perpendiculares que pasan por los puntos de contacto. La distancia del centro a las tangentes es el radio de la circunferencia. Luego debemos hallar un punto que equidiste de las dos tangentes. Pero ese punto puede ser cualquiera que esté en la bisectriz. La intersección de la bisectriz con la recta que nos dicen determinará el centro.

En realidad hay dos circunferencias ya que dadas dos rectas hay dos bisectrices que son perpendiculares entre sí.

Para hallar las dos bisectrices usaremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

$$\begin{align}&\frac{|5x-12y+5|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{|4x+3y-3|}{\sqrt{4^2+3^2}}\\ &\\ &\frac{(5x-12y+5)^2}{169}=\frac{(4x+3y-3)^2}{25}\\ &\\ &25(5x-12y+5)^2=169(4x+3y-3)^2\end{align}$$

Y habría que operar esa ecuación para dejar una de segundo grado y luego calcular la intersección con la recta que nos dan.

Me parece que es muy complicado, vamos a probar de otra forma. Tomaremos vectores de la misma longitud en ambas rectas y los sumaremos, ese será el vector de la bisectriz. Con ese vector y la intersección de las tangentes tendremos la ecuacion de la bisectriz y finalmente se calcula la intersección de la bisectriz con la reca que nos dicen.

El vector director de una recta dada en la forma

Ax+By+C = 0

es cambiar las letras de lugar y poner una con signo menos, o sea:

(B,-A) o (-B, A)

Normalmente yo eligo la que hace que salgan más números positivos

Luego los vectores son

(12, 5)

(3, -4)

Vamos a normalizarlos

$$\begin{align}&\vec{v_1}=\left(\frac{12}{\sqrt{12^2+5^2}},\;\frac{5}{\sqrt{12^2+5^2}}\right)=\left(\frac{12}{13},\;\frac{5}{13}  \right)\\ &\\ &\\ &\\ &\vec{v_2}=\left(\frac{3}{\sqrt{4^2+3^2}},\; -\frac{4}{\sqrt{4^2+4^2}}  \right)=\left(\frac 35,\;-\frac 45 \right)\\ &\\ &\\ &\vec{v_1}+\vec{v_2}=\left(\frac{12}{13}+\frac 35,\;\frac{5}{13}-\frac 45 \right)=\\ &\\ &\left(\frac{99}{65},-\frac{27}{65}\right) \;||\;(99,-27)\;||\;(11,-3)\\ &\\ &\\ &\vec{v_1}+\vec{v_2}=\left(\frac{12}{13}-\frac 35,\;\frac{5}{13}+\frac 45 \right)=\\ &\\ &\left(\frac{21}{65}\;,\;\frac{77}{65}\right) \;||\;(21,77) \;||\;(3,11)\end{align}$$

Bueno, en realidad no hacía falta haber calculado la resta de vectores, conocido

v1=(11,-3)

el perpendicular es ese con los lugares intercambiados y un con el signo distinto

v2=(3,11)

Pero no estuvo mal hacerlo para comprobar que salia bien.

Nos falta saber cual es el punto de intersección de las tangentes

5x-12y+5=0

4x+3y-3=0

La segunda la multiplico por 4 y la sumo a la primera

21x -7= 0

x=1/3

y = (3-4x)/3 = (3-4/3)/3 = (5/3)/3 = 5/9

Luego las bisectrices son

b1: (1/3, 5/3) + t(11, -3)

b2: (1/3, 5/3) + t(3, 11)

Y ya lo dejo porque me aprece que me pasé

Puedes transformar la ecuación de b1 a forma general y hallar la intersección con la recta 7x-2y-1=0, eso nos dara el centro y luego el radio será la distancia del centro a una tangente.

Y haces lo mismo con b2 y tendrás la otra circunferencia.

Y eso es todo.