Calcular el volumen sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje y

Calculé el área de la región

$$y=x\sqrt{x^2-9},  y=0,  x=5$$

y me dio el resultado de

$$\int^5_5(x\sqrt {(x^2-9-0)}dx=0 \int(x\sqrt {(x^2-9-0)}dx=\frac{1}{3}(x^2-9)^\frac{3}{2}+C$$

Pero me piden calcular el volumen sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje y

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Respuesta
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Veamos si este es asequible o no.

Como nos dicen que gira alrededor del eje Y habrá que poner las curvas como función de y. Asegúrate bien de poner los ejes correctos en el enunciado, porque no tiene nada que ver si giran alrededor de Y que alrededor de X. Y uno de los dos puede ser fácil y el otro imposible.

y = x sqrt(x^2-9)

y^2=x^2(x^2-9)

x^4 - 9x^2 -y^2 = 0

$$\begin{align}&x^2=\frac{9\pm \sqrt{81+4y^2}}{2}\\ &\\ &\text{Como }x^2 \text{ debe ser positivo no sirve la del -}\\ &\\ &\\ &x^2=\frac{9+ \sqrt{81+4y^2}}{2}\\ &\\ &\\ &x=\pm \sqrt{\frac{9+ \sqrt{81+4y^2}}{2}}\end{align}$$

De nuevo creo que se han pasado o está incorrecto el enunciado. La integral que va a salir es sumamente difícil de integrar. Si fuese respecto al eje X sería sencilla, pero respecto al eje Y es muy difícil, de verdad.

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Rotación al rededor del eje de ordenadas (Eje y)

$$\begin{align}&\\ &V=2*\pi\int\limits_a^bx*(f(x)-g(x))dx\\ &\\ &f(x)=x*\sqrt(x^2-9)\\ &g(x)=0\\ &reemplazando:\\ &V=2*\pi\int\limits_{-5}^{5}x*(x*\sqrt(x^2-9))dx\\ &\\ &V=2*\pi\int\limits_{-5}^{5}x^2*\sqrt(x^2-9))dx\\ &\\ &cambio-de-variable:\\ &x^2-9=t^2\\ &entonces: dx=dt \\ &para ,x=+-5; entonces,t=+-4\\ &reemplazando:\\ &V=2*\pi\int\limits_{-4}^{4}(t^2+9)*\sqrt(t^2))dt\\ &V=2*\pi\int\limits_{-4}^{4}(t^2+9)*tdt\\ &V=2*\pi\int\limits_{-4}^{4}(t^3+9t)dt\\ &V=2*\pi(t^4/4+9t^2/2) desde,4hasta-4\\ &V=376.991\\ &\end{align}$$

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