Representación de limites y funciones 1
Podrías por favor orientarme con el siguiente ejercicio, por favor
Dada una función sobreyectiva f: [0,1]----[0,1] tal que f(x) es continua en [0,1] ,
demostrar que existe x0 E [0,1 tal que f(x0)= x0
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Tomemos la función
g(x) = f(x) - x
Es un función continua por ser suma de continuas.
Existe un punto donde a donde f(a)=0 entonces
g(a) = 0 - a <= 0
y existe otro punto b donde f(b)=1
g(b) = 1 - b >=0
Si g(a)=0 o g(b)=0 ya hemos conseguido un punto donde g vale 0 que es lo que queremos, llamemos x0 al punto donde g vale 0. Y si no vale 0 en ninguno, tendremos g(a)<0 y g(b)>0. Como g es continua, existirá un punto x0 donde g(x0)=0
g(x0) = f(x0) - x0 = 0
luego
f(x0) = x0
Y eso es todo.
