Derivación compleja.Funciones holomorfas

Lo que te di la otra vez del material de apoyo de u3

Derivación compleja

muestre que

$$f(z)=|z^2-4|^2$$

No es holomorfa

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Respuesta
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f(z) = |(x+iy)^2-4|^2 = |x^2-y^2-4 + 2ixy|^2 =

(x^2-y^2-4)^2 + 4x^2·y^2

Luego

u(x,y)=(x^2-y^2-4)^2 + 4x^2·y^2

v(x,y)=0

Las derivadas parciales son

Ux = 2(x^2-y^2-4)(2x) +8xy^2 = 4x(x^2+y^2-4)

Uy = 2(x^2-y^2-4)(-2y) + 8x^2·y = 4y(x^2+y^2+4)

Vx=0

Vy=0

Existen y son continuas, luego f es derivable si y solo si se cumplen las condiciones de Riemann

Ux=Vy

Vx=-Uy

Esta segunda condición es

0=4y(x^2+y^2+4)

como el factor del paréntesis es siempre positivo se cumple

y=0

y con ello vamos a la primera condición

4x(x^2+y^2-4)=0

4x(x^2+0^2-4)=0

4x(x+2)(x-2) = 0

x = {0, -2, 2}

Luego f solo es derivable en tres puntos aislados

(0,0)

(-2,0)

(2,0)

Y no puede ser holomorfa en nungún punto ya que no hay ningún abierto donde sea derivable.

Y eso es todo.

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