Distribuciones de probabilidad bivariantes y multivariantes.

Vamos a integrar la función de densidad entre los límites que nos dan

$$\begin{align}&P(Y1 \lt 1/2,\; Y2 \gt1/4) =\int_0^{1/2}\int_{1/4}^1(y_1+y_2)dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^{1/2}\left[y_1y_2+\frac{y_2^2}{2} \right]_{1/4}^1dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^{1/2}\left( y1+1/2-\frac{y_1}{4}-\frac{1}{32}\right )dy_1 =\\ &\\ &\\ &\int_0^{1/2}\left( \frac{3y_1}{4}+\frac{15}{32}\right )dy_1 =\\ &\\ &\\ &\left[ \frac{3y_1^2}{8}+\frac{15y_1}{32} \right]_0^{1/2}=\frac{3}{32}+\frac{15}{64}=\frac{21}{64}\end{align}$$

Para la segunda parte dejaremos variar y1 entre 0 y 1, con lo que y2 variará entre 0 y 1-y1

$$\begin{align}&\int_0^{1}\int_0^{1-y_1}(y_1+y_2)dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^1\left[y_1y_2+\frac{y_2^2}{2} \right]_0^{1-y_1}dy1 =\\ &\\ &\\ &\\ &\int_0^1\left(y_1(1-y_1)+\frac{(1-y_1)^2}{2}\right)dy1=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac 12\int_0^1(2y_1-2y_1^2+1+y_1^2-2y_1)dy1=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac 12\int_0^1(1-y_1^2)dy_1 =\\ &\\ &\frac 12\left[ y_1- \frac{y_1^3}{3}  \right]_0^1=\frac 12\left(1-\frac 13\right)=\frac 13\end{align}$$

Y eso es todo.