Aplicación del criterio de la SEGUNDA derivada (3)

Saludos

Encuentra los extremos relativos de la función:

f(x) = x / (x^4 + 3)

gracias

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5.857.150 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Calculamos los ceros de la derivada primera, pero antes calcularemos también la segunda.

$$\begin{align}&f(x)=\frac{x}{x^4+3}\\ &\\ &\\ &\\ &f´(x) = \frac{x^4+3-x(4x^3)}{(x^4+3)^2}=\frac{3-3x^4}{(x^4+3)^2}\\ &\\ &\\ &f´´(x) = \frac{-12x^3(x^4+3)^2-(3-3x^4)2(x^4+3)4x^3}{(x^4+3)^4}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{-12x^3(x^4+3)-8x^3(3-3x^4)}{(x^4+3)^3}=\\ &\\ &\\ &\frac{-12x^7-36x^3-24x^3+24x^7}{(x^4+3)^3}=\\ &\\ &\\ &\frac{12x^7-60x^3}{(x^4+3)^3}\\ &\end{align}$$

Será cero cuando lo sea el numerador

3-3x^4 = 0

3x^4 = 3

x^4 = 1

x^2= 1 o -1; pero -1 no sirve

x= -1 y 1

El valor de la derivad segunda en x=-1 es

(-12+60)/4^3 = 48/64 es positivo

Luego en x=-1 hay un mínimo relativo que es (-1, -1/4)

Y el valor de la derivada segunda en x=1 es

(12-60) / 4^3 = -48/64 es negativo

Luego en x=1 tenemos un máximo relativo que es (1, 1/4)

Y eso es todo.

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