Series y sucesiones... Álgebra / Cálculo
Hola valeroasm:
Determina si la serie es convergente o divergente.
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{e^n}$$Yo intenté asiéndolo por el Criterio de Comparación Directa
pero fallé, no pude.
Puedes hacerlo con estos criterios:
-Comparación directa
-Comparación en el limite
-De la integral
-De razón
-De cociente
-De la raíz
Espero tu ayuda.
1 Respuesta
No sé si quieres decir que lo pruebe con el criterio que quiera (y pueda) o con todos los criterios. El criterio de comparación directa es muy complicado la mayoría de las veces. Ahora no recuerdo algunas equivalencia que se usaban. Si me dices el libro vendría bien.
Pasamos del método de comparación directa en este caso
El criterio del límite dice
Sean Xn e Yn series de términos positivos, entonces
i) Si lim n-->oo de Xn/Yn = c > 0 entonces Xn converge <==> Yn converge
ii) Si lim n-->oo de Xn/Yn = 0 entonces Si Yn converge ==> Xn converge
iii) Si lim n-->oo de Xn/Yn =oo entonces Si Yn diverge ==> Xn diverge
Nótese que en i) es un si y solo si, ambas series convergen o divergen a la vez
Vamos a comparar con una serie que sabemos que converge
Yn=1/(n^2)
Esta es una de las llamadas p-series 1/(n^p) que sabemos que convergen si p>1 y divergen si p<=1
lim n-->oo de (n^3/e^n) / (1/n^2) = lim n-->oo de n^5/e^n
Sabemos que una exponencial a^n con a>1 tiende más rápidamente a infinito cuando n-->oo que cualquier potencial n^k.
O si no superamos eso, aplicaríamos la regla de l'Hôpital derivando 5 veces y quedaría
120/e^n
Que tiende a cero
Luego el límite es cero y estamos en el caso ii), como la serie Yn = 1/n^2 es convergente se sigue que la la serie Xn=n^3/e^n del numerador es convergente
Y eso es todo.
