Análisis matematico1, ejercicios secuencias

$$\begin{align}&X_{2n}-X_n = \frac {1}{2n}+\frac{1}{2n-1}+ ...+\frac {1}{n+1} \ge\\ &\\ &n ·\frac{1}{n+1}= \frac{n}{n+1}\ge \frac 12\end{align}$$

Basta con que sea n>1 para que la desigualdad sea estricta.

Entonces tomando límites tendremos

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty} (X_{2n}-X_n) > \frac 12\\ &\\ &\lim _{n \to \infty}X_{2n}-\lim_{n\to \infty}X_n \ge 1/2\\ &\\ &L - L \ge \frac 12\\ &\\ &\text{si L fuera un número finito tendríamos}\\ &\\ &0 \ge \frac 12\\ &\\ &absurdo.\end{align}$$

Luego el limite no puede ser un número finito y Xn no está acotada.

Otra forma de demostrarlo sin usar esta técnica de igualar límites en el infinito.

X1 = 1

x2 >= X1+1/2 = 3/2

X4 > X2 + 1/2 = 4/2

X8 > X4 + 1/2 = 5/2

X16 > X8 + 1/2 = 6/2

X(2^n) > (n+2) / 2

lim n-->oo de X(2^n) = lim n -->oo de (n+2)/2 = oo

Y eso es todo.