La última integral! Por fín!

Como no decías que se resolvía por cambio de variable estuve probando por descomposición y llegue a:

$$\begin{align}&\frac{e^x-1}{e^x+1}= \frac{2e^x}{e^x+1}-1\\ &\\ &\text{Y con eso la integral es casi inmediata}\\ &\\ &2ln(e^x+1)-x+C\end{align}$$

Pero me parece que ese método no es muy normal y no te lo han enseñado. Lo haremos por cambio de variable aunque será mucho más complicado.

$$\begin{align}&t=e^x \implies x = ln \,t \implies dx = \frac{dt}{t}\\ &\\ &=\int \frac{t-1}{t+1}\frac{dt}{t}=\\ &\\ &\\ &\\ &\text{Usamos el método de las integrales racionales}\\ &\\ &\frac{t-1}{(t+1)t}= \frac{a}{t+1}+\frac{b}{t}=\frac{at+bt+b}{(t+1)t}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\text{Luego el primer y último numerador son iguales y}\\ &\text{por la igualdad de polinomios tenemos 2 ecuaciones:}\\ &\\ &a+b=1\\ &b = -1\\ &luego\\ &a-1=1 \implies a=2\\ &\\ &=\int \frac{2dt}{t+1}-\int \frac{dt}{t}= 2ln|t+1|-ln|t|+C=\\ &\\ &\text{Deshacemos el cambio y quitaremos los horribles}\\ &\text{valores absolutos porque } e^x \text{ es siempre positivo}\\ &\\ &\\ &= 2ln(e^x+1)-ln\,e^x+C = \\ &\\ &2ln(e^x+1)-x +C\end{align}$$

Y eso es todo.