Un problema matemático
hola!
desearía el procedimiento del siguiente problema :
calcular el MCD de los numerales:
aquí va el enlace de la imagen:
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se agradece
saludos
Me parece que son números en base 4 y base 8
Los equivalentes en decimal serán:
El primero el máximo número que se puede escribir con 462 cifras en base 4, eso es
4^462 - 1
Y el segundo el máximo que se puede escribir en base 8 con 378 cifras
8^378 - 1
Los ponemos en potencia de igual base
4^462 - 1
4^756 - 1
Usaremos el algoritmo de Euclides
mcd(a,b) = mcd(a, b-na)
multiplicamos el primero por 4^(756-462) = 4^294 y lo restamos al segundo
4^756 - 1 - 4^756 + 4^294 = 4^294 - 1
Luego el mcd inicial es el mimo que el de
4^462-1
4^294-1
Ahora es el segundo multiplicado por 4^(462-294) el que restaremos al primero
4^462 - 1 - 4^462 + 4^168 = 4^168 -1
Y el mcd será el mismo que el de
4^294 - 1
4^168 - 1
Bueno ya hemos visto que en cada paso se obtiene un número nuevo que es la potencia de 4 elevada a la diferencia de exponentes. Siguiendo tendremos estos exponentes nuevos
294 - 168 = 126
168 - 128 = 40
Ahora se restan 40, luego 40 y otro 40 de una sola vez, 120 en total
128 - 3·40 = 8
Ahora tenemos los exponentes 40 y 8
Si restamos 4·8=32 al 40 quedan 8 y 8
Luego es el mcd de 4^8 - 1 y 4^8 - 1 que es 4^8 - 1
El mcd es 4^8 - 1 = 2^16 - 1 = 65535
Y eso es todo.
la respuesta debería salir :
(2^42) - 1
te pongo aqui la solución que no entiendo:
>
Aquí dan mucho por supuesto, por supuesto que la respuesta es
2^[mcd(924,1134) - 1
Pero la demostración de que eso es así se basa en el algoritmo de Euclides tal como lo indiqué yo, a base de restar de un número el otro multiplicado por algo.
1134 - 924 = 210
924 - 4·210 = 924 - 840 = 84
210 - 2·84 = 210 - 168 = 42
Y 84 es múltiplo de 42, luego el
mcd(924,1134)=42
y el mcd de los números es
2^42 - 1
Entonces debí confundirme yo
Para mi era 4^[mcd(462,756)] - 1
Pero tuve un fallo, yo supuse
8^378 = 4^756
y eso está mal. Lo auténtico es
8^378 = (2·4)^378 = 2^378 · 4^378 = 4^189·4^378 = 4^567
Entonce debería haber sido
4^[mcd(462,567)] - 1
y por si no entiendes el algoritmo de Euclides calculamos el mcd de forma normal
462 | 2
231 | 3
77 | 7
11 | 11
1
567 | 3
189 | 3
63 | 3
21 | 3
7 | 7
1
Luego
462 = 2·3·7·11
567 = 3^4 · 7
y el mcd es comunes con el menor exponente
mcd(462, 567) = 3·7 = 21
La respuesta es
4^21 - 1 = 2^42 -1
lo mismo que dicen.
Aunque creo que es más fácil poniendo base 2 tal como hicieron ellos
4^462 = (2^2)^462 = 2^(2·462) = 2^924
8^378 = (2^3)^378 = 2^(3·378) = 2^1134
y se comprueba que mcd(924,1134)=42
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Perdón por el fallo.
