Ayuda con un ejercicio de matemática!
Hola! Tengo que realizar un ejercicio y la verdad es que no se me ocurre como. El enunciado dice que hay que encontrar todos los tríos (a, b, c) de números enteros positivos consecutivos tales que: a < b < c, a^c + b^b + c^a = c^3 - (a + b).
Lo que yo se es que tres números consecutivos se pueden escribir de la forma n, n+1,n+2, por ende a^c + b^b + c^a = n^(n+2)+(n+1)^(n+1)+(n+2)^n. Ademas se que c^3 - (a + b)=(n+2)^3-(n+(n+1)). De este último se que se puede escribir de la forma: n^3+6n^2+12n+8-2n-1 = n^3+6n^2+10+7. Aquí he tratado de jugar un poco con los números y encontrar algo que me sirva pero no llego a nada razonable, no encuentro una forma de simplificar estas expresiones, por eso recurrí a usted. Ojalá pueda guiarme para resolver este ejercicio, le agradecería mucho... De ante mano gracias, Jennifer.
1 respuesta
Podrías decirme si es un problema de la asignatura Teoría de Números. Y decirme que es lo que se estudia en el capítulo del libro. Si puedes darme el título del libro también intentaría encontrarlo en internet. Es que en un problema de este calibre el 50% o más de la solución proviene del contexto donde está.
mmm la verdad es que el profesor nos entrega ejercicios de olimpiadas de alumnos de secundaria, independiente de alguna asignatura específica y nos toca al azar alguno. Generalmente los hago, pero este me resultó complicado y he buscado en internet alguna ayuda pero no encuentro nada que me guie. De todas formas seguiré buscando y veré si encuentro algo por ahí...
Lo tienes bien planteado, vamos a ver si puedo continuarlo.
n^(n+2)+(n+1)^(n+1)+(n+2)^n = n^3+6n^2+10n+7
Se ve que n no puede ser muy grande, puesto que en la izquierda los exponentes dependen n y en la derecha son fijos, y así enseguida se hace mucho más grande el exponente izquierdo.
Con n=0 tendremos
0^2+1^1+2^0 =0^3+ 6·0^2+10·0+7
1 = 7 Falso
Con n=1
1^3 + 2^2 + 3^1 = 1 + 6 + 10 +7
8 = 20 Falso
Con n= 2
2^4 + 3^3 + 4^2 = 2^3 + 6·2^2 + 10·2+7
16+27+16 = 8 + 24 + 20 +7
59 = 59 Verdadero
Luego n=2 y los números son 2,3 y 4.
Y no hay más porque a partir de aquí se va a disparar el valor en la izquierda
Con n=3
3^5+4^4+5^3 =3^3+6·3^2+10·3+7
243+256+125=27+54+40+7
624=128 Falso
Y seguirá siendo mayor la diferencia porque con cada n aumentaremos un grado en la expresión de derecha y en la izquierda no.
No sé si el fallo que tenías es que pusiste
n^3+6n^2+10+7
en lugar de
n^3+6n^2+10n+7
O eso fue una errata al escribir.
Y eso es todo.
Había pensado en darle valores a n pero quería ver si encontraba alguna generalidad (pensé que podía existir mas de una terna como solución). Muchísimas gracias! agradezco de sobre manera su ayuda!!! Saludos!!! y otra vez muchas gracias...
