Funciones derivables en un intervalo

Me he liado con la notación que usas y algunas cosa no las entiendo, casi mejor si lo hago yo y lo comparas tú.

El limite por la izquierda de la función en x=2 debe ser igual que el valor que tiene y que viene dado en la parte derecha. Eso es para que la función sea continua en x=2

lim x--> 2 de x^2 + ax + b = 4 + 2a + b

f(2) = 2x = 4

luego

4 + 2a + b = 4

2a+b=0

Los limites de las derivadas por la izquierda y la derecha deben coincidir

Derivada izquierda = 2x +a

en el punto x=2 es 4+a

Derivada derecha = 2

Luego

4+a = 2

a = -2

Y ya calculado el valor de a vamos a la ecuación de arriba en negrita

2(-2)+b = 0

-4+b= 0

b = 4

Luego la función por la izquierda es

f(x) = x^2 - 2x + 4 si x<2

y por la derecha es igual que antes

f(x) = 2x si x >= 2

Ahora, por el teorema del valor medio, existe c €(0,4) tal que [f(4)-f(0)]/(4-0) = f '(c)

(8-4)/4 = f '(c)

f '(c) = 1

La derivada de la parte derecha es siempre 2, luego c no puede estar en la derecha

La derivada en la parte izquierda es

f '(x) = 2x - 2

f '(c) = 2c - 2

esto debe ser 1, luego

2c-2 = 1

2c = 3

c=3/2

Creo que al final del todo te despistaste, en las linea que decías

"2x +a=1 es decir, 2c + a=2"

Te apareció un 2 fantasma al final en lugar del 1.

La recta tangente se halla con la fórmula:

y = f(3/2)+f '(3/2)(x-3/2)

Te dejo que la calcules tú, si no puedes me lo preguntas.