Como hallar la raíz real

La ecuación es

8x^2 - (k-1)x + k - 7 = 0

Si te fijas, en la fórmula de la ecuación de segundo grado hay un término metido dentro de una raíz cuadrada

b^2 - 4ac

Eso se llama el discriminante.

Se pueden dar tres casos

i) b^2 - 4ac > 0 entonces hay dos soluciones reales

ii) b^2 - 4ac = 0 entonces hay una solución real

Iii) b^2 - 4ac < 0 no hay ninguna solución real

Pues vamos a ver cuál es el discriminante de esta ecuación

[-(k-1)]^2 - 4·8(k-7) =

k^2 - 2k +1 - 32k + 224 =

k^2 - 34k + 225

Para saber los valores de k calcularemos las raíces y luego estudiaremos los signos en los tres trozos (bueno no haría falta ese estudio, ya sabemos que en las esquinas será positivo este polinomio en k por tender a +infinito)

$$\begin{align}&k= \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4·225}}{2}=\\ &\\ &\\ &\frac{34 \pm \sqrt{256}}{2} = 25 \; y \; 9\end{align}$$

Como decía antes, es un mero trámite estudiar los signos, si quieres prueba con los valores 0, 20 y 40 que son de cada uno de los trozos en que se subdivide la recta con las raíces.

Entonces la solución es

Dos respuestas reales con k € (-infinito, 9) U (25,+infinito)

Una respuesta real con k=9 o k = 25

Respuestas complejas con k €(9, 25)

Y eso es todo.