Cual sera el volumen de

Puestas como función de x las funciones o curvas son

1) y=3-x

2) (y-1)^2 = 4-x

y-1 = +- sqrt(4-x)

y = 1 +- sqrt(4-x)

La primera es una recta y la segunda es una parábola tumbada compuesta por dos funciones. Esta es la gráfica.

El área coloreada es la que al girar crea el volumen. La hemos dividido en dos trozos porque las funciones que limitan el área son distintas.

El volumen será:

$$\begin{align}&V=\pi\int_0^3\left[(1+\sqrt{4-x})^2-(3-x)^2\right]dx +\\ &\\ &\\ &\pi\int_3^4\left[(1+\sqrt{4-x})^2-(1-\sqrt{4-x})^2  \right]=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\pi\int_0^3(1+4-x+2 \sqrt{4-x}-9-x^2+6x)dx+\\ &\\ &\pi\int_3^4(1+4-x+2 \sqrt{4-x}-1-4+x+2 \sqrt{4-x})dx=\\ &\\ &\\ &\pi\int_0^3(-x^2+5x-4+2 \sqrt{4-x})dx +\\ &\pi \int_3^4 4 \sqrt{4-x}dx =\\ &\\ &\\ &\pi\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x-2· \frac 23·\sqrt{(4-x)^3}  \right]_0^3 +\\ &\\ &\pi\left[-4·\frac 23·\sqrt{(4-x)^3} \right]_3^4 =\\ &\\ &\pi\left(-9+\frac {45}{2}-12-\frac 43+0-0+0+\frac 43·8  \right)+\\ &\\ &\pi\left(-\frac 83·0+\frac 83 \right)=\\ &\\ &\pi\left(-21+\frac{45}{2}+\frac{28}{3}+\frac 83  \right)=\\ &\\ &\pi\left(-21+\frac{45}{2}+\frac{36}{3} \right)=\\ &\\ &\pi\left(-21+\frac{135+72}{6}  \right)=\\ &\\ &\pi\left(-21+\frac{207}{6}  \right)=\\ &\\ &\pi \left(\frac{-126+207}{6}  \right)=\\ &\\ &\frac{81}{6}\pi\end{align}$$

Voy a comprobarla, si ha salido bien es un milagro.

Ya lo decía yo, me daba 97/6 y el ordenador dice 81/6 así que voy a ver donde tuve el fallo.

Y tras corregir lo que estaba mal da la respuesta que decía el ordenador.

Y eso es todo.