Ejercicio de calculo II
valeroasm un ejercicio mas de integrales impropias que me piden calcular:
\int _{0}^{1}\dfrac {dx} {x^{3}-5x^{2}}
gracias de nuevo!
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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No aparece la gráfica de tu integral peo creo que es esta
$$\begin{align}&\int_0^1 \dfrac{dx}{x^3-5x^2}=\int_0^1 \frac{dx}{x²(x-5)}\\ &\\ &\text{Según la teoria}\\ &\\ &\frac{1}{x^3-5x^2}=\frac ax + \frac{b}{x^2}+\frac{c}{x-5}=\\ &\\ &\frac{ax(x-5)+b(x-5)+cx^2}{x^3-5x^2}=\\ &\\ &\frac{ax^2-5ax+bx -5b +cx^2}{x^3-5x^2}=\\ &\\ &\frac{(a+c)x^2+(-5a+b)x-5b}{x^3-5x^2}\\ &\\ &\text {Eso es el numerador del original, luego}\\ &\\ &a+c=0\\ &-5a+b=0\\ &-5b= 1\\ &\\ &b=-1/5\\ &a=-1/25\\ &c=1/25\\ &\\ &I=\left[-\frac{ln|x|}{25}+ \frac{1}{5x}+\frac{ln|x-5|}{25}\right]_0^1=\\ &\\ &\\ &\left[\frac{1}{5x}+\frac{1}{25}{ln \left|\frac{x-5}{x}\right|}\right]_0^1= \frac 15+ \frac {ln4}{25} -\infty -\infty=-\infty\\ &\\ &\end{align}$$Luego la integral es divergente.
Y eso es todo, si necesitas alguna aclaración pídela, no puedo ir escribiendo todos los detalles, aparte que a lo mejor no te harían falta.
