Raíz cuadrada de por es igual a raíz cuadrada de por subíndice cero cuando
Demostrar por definición que raíz cuadrada de x es igual a raíz cuadrada de x0 cuando x tiende a x0
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Casi es lo que tu pones, mira es esto:
limx?x0vx=vx0
pero yo creo que hay un error, porque el limite de una raíz no puede ser la misma raíz, o me equivoco?
pero ais como te lo puse asi esta.
Saludos
Si, tienes razón, me equivoque al escribirlo, lo que hay que demostrar es
$$\lim_{x\to x_0} \sqrt x = \sqrt {x_0}$$Pero ahora tengo que dejar el ordenador, dentro de unas horas me pongo.
$$\begin{align}&Dado\; \epsilon\gt 0\; debemos\; encontrar\;un\; \delta>0\; tal\; que\\ &\\ &0\lt|x-x_0|<\delta \rightarrow |\sqrt x-\sqrt x_0|<\epsilon\\ &\\ &|x-x_0|=|(\sqrt x+ \sqrt {x_0})(\sqrt x - \sqrt {x_0})|=\\ &\\ &|\sqrt x+ \sqrt {x_0}|·|\sqrt x - \sqrt {x_0}|<\delta\\ &\\ &|\sqrt x - \sqrt{x_0}|< \frac{\delta}{|\sqrt x + \sqrt{x_0}|}=\\ &\\ &\text {como las raíces cuadradas tienen valor positivo}\\ &\\ &=\frac{\delta}{\sqrt x +\sqrt{x_0}}<=\frac{\delta}{\sqrt{x_0}}\\ &\\ &\\ &\text{hagamos que eso sea }\epsilon\\ &\\ &\frac{\delta}{\sqrt{x_0}}=\epsilon\\ &\\ &\\ &\delta=\epsilon \sqrt{x_0}\end{align}$$Luego ese el el delta que debemos tomar para el epsilon que no han dado, con lo cual
$$\begin{align}&\text{Si x cumple}\\ &\\ &0\lt |x-x_0|<\epsilon \sqrt{x_0}\\ &\\ &\text{entonces}\\ &\\ &|x-x_0|=|(\sqrt x+\sqrt{x_0})(\sqrt x - \sqrt{x_0})|=\\ &\\ &|\sqrt x+\sqrt{x_0}|·|\sqrt x - \sqrt{x_0}|\lt\epsilon \sqrt{x_0}\\ &\\ &\text{luego}\\ &\\ &|\sqrt x - \sqrt{x_0}|<\frac{\epsilon \sqrt{x_0}}{|\sqrt x+\sqrt{x_0}|}=\\ &\\ &\frac{\epsilon \sqrt{x_0}}{\sqrt x+\sqrt{x_0}}\le \frac{\epsilon \sqrt{x_0}}{\sqrt {x_0}}=\epsilon \implies\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to x_0} \sqrt x = \sqrt{x_0}\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
