Ayuda con rango de funciones

No sería ese el método que emplearía yo para encontrar el rango sino con la teoría de máximos-mínimos que no sé si habrás dado. Pero vamos a hacerlo tal como dicen.

El rango de f(x) son los valores que puede tomar la función, es decir, la variable y.

Asi como para hallar el dominio en x ponemos la función

y = f(x)

Y averiguamos para qué valores de x existe la y, para averiguar el rango se pone la función como

x = g(y)

y averiguamos para que valores de y existe la x

Entonces despejamos la x, voy a dar un paso más de lo que tenías

$$\begin{align}&x =\frac{-2\pm \sqrt{4-4(9-y)}}{2}=\\ &\\ &\frac{-2\pm \sqrt{4-36+4y}}{2}=\\ &\\ &\frac{-2\pm \sqrt{4y-32}}{2}\end{align}$$

Esa función solo tendrá valores reales cuando el discriminante (lo de dentro de la raíz cuadrada) sea positivo. Si es negativo, x tendrá un valor complejo. No se si habrás dado ya los números complejos. Y un valor complejo no nos sirve porque x hace el papel de una función real de variable real.

Luego debe ser positivo el discriminante.

4y-32 >= 0

4y >= 32

y >= 32/4

y >= 8

y € [0, +infinito)

Y ese es el rango de f

rang f = [8, +infinito)

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Y el método que usaría yo es sabiendo que la función cuadrática es una parábola con forma de U por ser positivo el coeficiente de x^2 calcularía el mínimo. Para ello la derivaría e igualaría a cero

f '(x) =2x +2 = 0

x = -1

y el valor en el punto mínimo es:

f(-1) = 1-2+9 = 8

Luego el mínimo es 8 y el máximo no tiene límite, asi que el rango es

rang f = [8, +infinito)

Pero si tienes que hacerlo como te dicen hazlo como te decía arriba.

Y eso es todo.