Teorema de stokes y trabajo de una campo
Me piden en el siguiente ejercicio que verifique:
1) El teorema de stokes para el campo de fuerzas dado y la frontera dada
2) El trabajo realizado por el mismo campo. Cuya respuesta es 16
Como se parametriza para que quede en sentido antiohorario y como queda la integral cerrada. Estoy confundido con el ejercicio.
1 Respuesta
No entiendo muy bien la pregunta, aquí haces dos preguntas mientras que en el enlace solo preguntan una. Calcularé la circulación a lo largo del contorno cerrado y el flujo del rotacional a través de la superficie comprobando que son lo mismo.
La circulación es integral en línea del campo a través del contorno
El contorno se compone de tres curvas cada una es un cuarto de circunferencia, el que se produce como intersección del primer octante de la esfera con los planos x=0, y=0 y z= 0
Asi la primera parte del contorno
x=0
x^2 + y^2 + z^2 = 4; con y,z >= 0
eso implica
x=0
y^2+z^2 = 4; con y,z >=0
es la cuarta parte de una circunferencia de radio 2 que se puede parametrizar así
f1(t) = (0, 2cost, 2sent) con t € [0,Pi/2]
Veamos si el sentido es antihorario, para t= 0 el punto es (0,2,0), para t=Pi/2 es (0,0,2)
Esto es desde el punto del ecuador por la derecha hasta el polo norte, es antihorario
Análogamente
f2(t) = (2sent, 0, 2cost) con t € [0,Pi/2]
Nos lleva del polo norte al ecuador por delante por el meridiano de Grenwich (0,0,2) a (2,0,0)
Y finalmente
f3(t) = (2cost, 2sent,0) con t €[0,Pi/2] nos lleva por el Ecuador al punto de partida, de (2,0,0) a (0,0,2)
La integral de línea, que además es el trabajo, será:
$$\begin{align}&\int_0^{\pi/2}\vec F(f_1(t))·\vec {f_1´}(t)dt+\int_0^{\pi/2}\vec F(f_2(t))·\vec {f_2´}(t)dt+\int_0^{\pi/2}\vec F(f_3(t))·\vec {f_3´}(t)dt=\\ &\\ &\int_0^{\pi/2}(4sen^2t,4cos^2t,4)·(0,-2sent,2cost) dt+ \\ &\\ &\int_0^{\pi/2}(4,4sen^2t,4cos^2t)·(2cost,0,-2sent)dt+\\ &\\ &\int_0^{\pi/2}(4cos^2t,4,4sen^2t)·(-2sent,2cost,0)dt =\\ &\\ &\\ &\\ &\int_0^{\pi/2}(-8cos^2t·sent+8cost+ 8cost-8cos^2t·sent-8cos^2t·sent+8cost)dt=\\ &\\ &24\int_0^{\pi/2}(cost-\cos^2t·sent)dt=\\ &\\ &u=cost\quad du=-sentdt\\ &t=0\implies u=1;\quad t=\pi/2\implies u=0\\ &\\ &24\left[sent\right]_0^{\pi/2}+24\int_1^0u^2du=\\ &\\ &24 +24\left[\frac {u^3}{3}\right]_1^0= 24-24/3 = 16\\ &\end{align}$$Luego el trabajo desarrollado por la fuerza es 16.
Y ahora quedaría comprobar del rotacional a través de la superficie tiene ese mismo valor. Pero todo eso lo tengo que estudiar que me suena muy lejano y son los 8:15 de mi país, tengo que ir a dormir.
valeroasm realmente la pregunta es solo una, me piden que demuestre el teorema de stokes en este ejercicio. y fue lo que tu resolviste cierto?? es trabajo de la fuerza
es la misma integral de linea.??
No, que se cumple el teorema de Stokes en este ejercicio todavía no lo he demostrado es lo que falta pero aun tardaré. He hecho la mitad de la comprobación, he calculado el miembro izquierdo de la igualdad del teorema y ahora tengo que calcular el miembro derecho para ver que el resultado es el mismo.
El trabajo ya está calculado porque es la integral en línea del campo a través de curva recorrida por la partícula, justamente lo que hemos hecho.
El teorema de Stokes nos facilita una forma alternativa de calcular este trabajo. Que cuando lo haga veré si es más fácil o difícil, pero de momento todavía no estoy en condiciones de hacerlo porque tengo que repasar y hacer otras cosas.
De 100 veces que haya visto el teorema de Stokes habré visto 100 formas distintas de expresarlo, será mejor que sigas la definición que pone en tu libro. A grandes rasgos viene a decir que la integral de linea a lo largo del contorno cerrado que delimita una superficie es igual al flujo de un vector llamado rotacional del campo a través de la superficie.
Si F es el campo vectorial
$$\int_{\partial S}F=\int_SRot(F)·N$$Esto tiene unas condiciones estrictas que deben cumplirse pero te remito a las que ponga en tu libro.
El miembro derecho es la integral de línea que hemos hecho, también se llama circulación de un vector a lo largo de un contorno cerrado.
El lado derecho es el flujo de ese vector llamado rotacional a lo largo de la superficie y es el que vamos a calcular ahora.
Si el campo F es
F = X(x,y,z)i + Y(x,y,z)j + Z(x,y,z)k
el rotacional de F es esto
$$rot(F)=\left(\frac{\partial Z}{\partial y}-\frac{\partial Y}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial X}{\partial z}-\frac{\partial Z}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X}{\partial y}\right)k
\\
\text{Puedes sacarlo de aquí}
\\
rot(F)=\begin{vmatrix}
i&j&k\\
\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\
X&Y&Z
\end{vmatrix}$$El rotacional de nuestro campo vectorial va a ser
rot(F) = 2y·i + 2z·j + 2x·k
Y debemos calcular el flujo de ese vector a través de la superficie. En el ejercicio anterior llegamos a la fórmula
$$Flujo =\iint_D \left(-X·\frac{\partial z}{\partial x}-Y·\frac{\partial z}{\partial y}+Z\right)dxdy$$en este caso la función z correspondiente a la superficie es
z= sqrt(4-x^2-y^2)
parcial z / parcial x = -x/sqrt(4-x^2-y^2)
parcial z / parcial y = -y/sqrt(4-x^2-y^2)
$$\begin{align}&Flujo =\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-y^2}} \left(\frac{2xy}{\sqrt{4-x^2-y^2}}+\frac{2yz}{\sqrt{4-x^2-y^2}}+2x\right)dxdy=\\ &\\ &\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-y^2}} \left(\frac{2xy}{\sqrt{4-x^2-y^2}}+\frac{2y \sqrt{4-x^2-y^2}}{\sqrt{4-x^2-y^2}}+2x\right)dxdy=\\ &\\ &\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-y^2}} \left(\frac{2xy}{\sqrt{4-x^2-y^2}}+2y+2x\right)dxdy=\\ &\\ &\\ &\int_0^2\left[-2y \sqrt{4-x^2-y^2}+2xy+x^2 \right]_0^{\sqrt{4-y^2}}dy=\\ &\\ &\\ &\int_0^2 \left(-2y \sqrt{4-4+y^2-y^2}+2y \sqrt{4-y^2} +4-y^2+2y \sqrt{4-y^2} \right)dy=\\ &\\ &\\ &\int_0^2 \left( 4-y^2+4y \sqrt{4-y^2} \right)dy=\\ &\\ &\left[4y -\frac{y^3}{3}-4·\frac 23·\frac 12 (4-y^2)^{\frac 32} \right]_0^2=\\ &\\ &8-\frac 83-0+\frac 43(4)^{\frac 32}=\\ &\\ &8-\frac 83+\frac{32}{3}=8 +\frac{24}{3}= 16\\ &\\ &\end{align}$$Nos da 16, lo mismo que daba en el lado izquierdo que calculamos ayer. Luego se verifica el teorema de Stokes en el ejemplo que nos han dado.
Y eso es todo.
