Población de águilas y roedores
En cierta región en la que hay águilas como depredadores y roedores como presas, la población R de roedores varía de acuerdo al modelo R=1200+300 sen (p/2(t)) y la población de águilas H varía de acuerdo al modelo, H=250+25 sen (p/2 (t)-p/4) donde t se mide en años a partir de enero 1 de 2000.
a) ¿Cuál fue la población de roedores en
enero 1 de 2005?
b) ¿Cuál fue la población de águilas en
enero 1 de 2005?
c) ¿Cuál es la población máxima de
roedores y de águilas? ¿Estos valores máximos ocurren alguna vez al mismo
tiempo?
d) ¿En qué fecha fue la primera vez que
la población de roedores obtuvo su población máxima?
¿Cuál es la población mínima de águilas? ¿En qué
fecha se obtuvo la mínima población de águilas por primera vez?
1 Respuesta
a) No hay mas que sustituir el valor de t en la fórmula de los roedores.
t se mide en años y año inicial es el 2000, luego t = 2005-2000 = 5
R = 1200+300sen(5Pi/2) =
Le restamos 2Pi = 4Pi/2 para que quede un ángulo en la primera vuelta
= 1200 +300sen(Pi/2) =
Pi/2 es 90º donde el seno vale 1
= 1200 +300 = 1500 roedores
b) Hacemos lo mismo en la fórmula de las águilas
A = 250+25sen(5Pi/2-Pi/4)=
250+25·sen(10Pi/4 - Pi/4) =
250+25·sen(9Pi/4) =
restar 2Pi = 8Pi/4 y el ángulo es el mismo en la primera vuelta
= 250+25·sen(pi/4) =
Pi/4 es 45º cuyo seno es la raíz de 2 medios
250 + 25sqrt(2)/2 =
250 + 17.6776 = 267.6776 águilas
Redondearemos al entero más cercano
agilas = 268
c) La población máxima de roedores se da cuando el seno vale 1, ya vimos antes que se daba y es.
1200+300 = 1500
se da cuando
t·Pi/2 = Pi/2 + 2·k·Pi con 0 <= k € Z
t·Pi = Pi + 4kPi
t = 1+4k
Luego se da cada cuatro años empezando en 2001. En los años 2001, 2005, 2009, 2013, ...
La de águilas se daría cuando
t·Pi/2 + Pi/4 = Pi/2 + 2kPi
t·Pi/2 = Pi/2 - Pi/4 + 2kPi
t·Pi/2 = Pi/4 +2kPi
t·Pi = Pi/2 + 4kPi
t = 1/2 +4k
Y no hay ningún t entero que cumpla esto, luego el máximo del todo no lo puede alcanzar.
Los valores que puede tomar el ángulo son:
Pi/4, 3Pi/4, 5Pi/4 y 7Pi/4
El máximo se da en Pi/4 y 3Pi/4 que serán los años 2000,2001, 2004,2005, 2008,2009, etc
El máximo es la población que ya habíamos calculado 268
Si, se dan conjuntamente en los años 2001, 2005, 2009, etc
d) Con lo hecho en el apartado anterior ya sabemos que que la población máxima de roedores se dio por primera vez en 2001
La población mínima de águilas se da cuando el seno es negativo. Ya vimos en el apartado anterior que puede haber 4 ángulos, los de 5Pi/4 y 7Pi/4 son los negativos con igual valor
Mínimo águilas = 250+25 sen(5Pi/4) = 250 - 25sqrt(2)/2 = 232.3223
Lo redondeamos a 232
La población mínima de águilas se dio por primera vez en el año 2002, tal como ya habíamos calculado en el apartado anterior.
Y eso es todo.
