Espacios vectoriales aplicaciones lineales
Sea V un espacio vectorial de dimensión 2, B = {e1, e2} base de V, y F y G dos aplicaciones lineales definidas por
F(e1) = -3e1 + e2 y G(e1)= e1+e2
F(e2) = e1 - e2 y G(e2)= e1
encontrar las transformaciones F, G, FoG, GoF.
Sea a un vector de V de coordenadas (a1, a2) en la base B
Entonces por ser una función lineal
F(a) = a1·F(e1) + a2·F(e2) =
a1(-3e1 + e2) + a2(e1 - e2) =
(-3a1+a2)e1 + (a1-a2)e2
Luego en las coordenadas respecto la base tenemos
F(a1,a2) = (-3a1+a2 , a1-a2)
G(a) = a1·G(e1) + a2·G(e2)=
a1(e1+e2) + a2·e1 =
(a1+a2)e1 + a1·e2
Si lo ponemos como antes en coordenadas respecto la base B
G(a1,a2) = (a1+a2 , a1)
Debemos hallar la imagen de la base con FoG. Primero se aplica G y luego F
En el primer paso será
G(a1,a2) = (a1+a2, a1)
y ahora aplicamos F a esto
F(a1+a2, a1) = (-3(a1+a2)+a1 , a1+a2-a1) = (-2a1-3a2 , a2)
Luego
(FoG)(a1,a2) = (-2a1-3a2 , a2)
Y ahora al revés aplicaremos primero F y después G
F(a1,a2) = (-3a1+a2 , a1-a2)
G(-3a1+a2 , a1-a2) = (-3a1+a2 + a1-a2 , -3a1+a2) = (-2a1 , -3a1+a2)
Luego
(GoF)(a1,a2) = (-2a1 , -3a1+a2)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame, y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer nuevas preguntas.
